$f$ est nulle.

mathspe
mathspe
dans Analyse
Bonjour,
Si on a $\int_{\R}f(x)g(x)dx=0 $ pour tout $g$ dans $L^2(\R)$, a-t-on $f=0$.

Merci.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Qui est $f$ ? On est en droit de prendre $g=f$ ?
  • mathspe
    mathspe
    $f$ est juste mesurable.
  • christophe c
    christophe c
    Tu prends un intervalle $J$ et $g$ nulle en dehors de $J$ et égale à $ sign \circ f$ sur $J$. L'intégrale, sauf erreur te donne la valeur moyenne de $|f|$ sur $J$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gebrane
    gebrane
    Les rares fois que je comprends cc, ses raisonnements sont magiques.

    (il vaut mieux prendre ton intervalle $J$ borné pour que $g=\text{sign} (f).\chi_J\in L^2(\R)$).
    Le 😄 Farceur


  • mathspe
    mathspe
    Merci infiniment à tous.
  • mathspe
    mathspe
    Bonjour Christophe c, je n'arrive pas à conclure en suivant ta méthode, merci.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone : peut être parce que f n'est pas nulle mais seulement nulle presque partout. J'avais anticipé. La fonction envoyant 0 sir1 et tout les autres sur 0 marche sans être nulle.

    La seule conclusion est "f est nulle presque partout"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gebrane
    gebrane
    C'est sous-entedu au sens presque partout! même Si f était L^2, en prenant g=f, on obtient la nullité au sens pp

    Ajout mathspe, tu n'as pas compris quoi au juste ?
    Le 😄 Farceur


  • mathspe
    mathspe
    Oui il est nulle pp. Merci infiniment à tous.
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