Supremum

Code_Name · May 2021

Bonjour, soient $a_n,b_n$ des suites réelles.
Supposons que $\sup_{k\geq n} a_k=s_n$ et que $\lim b_n=b$.

Est-ce que $\limsup_n \{a_n+b_n\}=\lim_n s_n+b$? Merci.

math2 · May 2021

On a toujours $ \leq$ (sous réserve que le terme de droite ait un sens), il faut donc regarder si l'on a $\geq$.

Supposant que tout soit fini (sinon une micro-adaptation d'écriture est nécessaire), $(s_n)_n$ est décroissante et donc toujours supérieure à sa limite, quant à $(b_n)_n$ à partir d'un certain rang elle est minorée par $b-\varepsilon$.

Poirot · May 2021

Oui (en supposant $b$ fini). Je note $s = \limsup_n a_n$. Si $s = +\infty$, les deux côtés sont clairement infinis, sinon, il est clair que $s+b$ est une valeur d'adhérence de $(a_n+b_n)_n$, et c'est la plus grande puisque si $c$ est un valeur d'adhérence de cette suite, il existe une extractrice $(n_k)_k$ telle que $(a_{n_k}+b_{n_k})_k$ converge vers $c+b$, ce qui implique immédiatement que $(a_{n_k})_k$ converge vers $c$, d'où $c \leq s$.