Fonction définie par une intégrale
dans Analyse
Bonjour,
dans le cadre d'un calcul de l'intégrale de Gauss, je dois montrer que la fonction $\displaystyle F:x\mapsto \int_0^1 \frac{\exp^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\mathrm{d}t$ est dérivable.
Pour cela je montre que pour tout $x$ réel l'application $h : t\mapsto -2x\exp^{-x^2(1+t^2)}$ est continue donc intégrable sur $[0,1]$.
Puis pour l'hypothèse de domination, comme par croissance comparée on a pour tout $t$ dans $[0,1]$ $x\exp^{-x^2(1+t^2)}\underset{x\rightarrow \infty}{\longrightarrow}0$, je dis que pour tout $x$ réel et tout $t\in[0,1]$ $\lvert -2x\exp^{-x^2(1+t^2)}\rvert \leqslant \Vert h\Vert_ {\infty}$ constante forcément intégrable sur $[0,1]$.
Est-ce que ce raisonnement convient pour l'hypothèse de domination ?
Merci.
dans le cadre d'un calcul de l'intégrale de Gauss, je dois montrer que la fonction $\displaystyle F:x\mapsto \int_0^1 \frac{\exp^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\mathrm{d}t$ est dérivable.
Pour cela je montre que pour tout $x$ réel l'application $h : t\mapsto -2x\exp^{-x^2(1+t^2)}$ est continue donc intégrable sur $[0,1]$.
Puis pour l'hypothèse de domination, comme par croissance comparée on a pour tout $t$ dans $[0,1]$ $x\exp^{-x^2(1+t^2)}\underset{x\rightarrow \infty}{\longrightarrow}0$, je dis que pour tout $x$ réel et tout $t\in[0,1]$ $\lvert -2x\exp^{-x^2(1+t^2)}\rvert \leqslant \Vert h\Vert_ {\infty}$ constante forcément intégrable sur $[0,1]$.
Est-ce que ce raisonnement convient pour l'hypothèse de domination ?
Merci.
Réponses
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Non, tu n'as pas exhibé de majorant uniforme en $x$, quel rapport avec le fait que ta fonction tend vers $0$ en $+\infty$ pour toute valeur de $t$ ?
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Je me suis dit que comme la limite en $+\infty$ était nulle, la fonction était bornée, et que je pouvais donc prendre pour mon application dépendant uniquement de $t$ intégrable et qui majore $h$ la borne supérieure. J'entends bien que mon raisonnement est faux mais je ne comprends pas pourquoi.
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Une fonction qui tend vers $0$ en $+\infty$ est forcément bornée ? Il y a plus de choses à dire. En ayant donné tous les arguments, tu arriveras à la chose suivante : pour tout $t \in [0, 1]$, il existe une constante $C_t$ telle que pour tout $x \in \mathbb R$, $2xe^{-x^2(1+t^2)} \leq C_t$. Pourquoi est-ce que $t \mapsto C_t$ serait intégrable sur $[0, 1]$ ?
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Ca y est je crois que j'ai compris.
Pour que la fonction soit bornée il faut préciser d'une part qu'elle est continue (par morceaux suffit) sur $\mathbb{R}$ et que d'autre part, étant paire, la limite en $-\infty$ est également nulle.
Mais le problème c'est que ma borne sup dépendant de $t$, rien ne permet d'affirmer qu'elle est intégrable.
Moralité il faut toujours "laisser du $t$ apparent" dans la fonction majorante pour pouvoir contrôler son intégrabilité. -
C'est ça. Il faut donc travailler un peu (mais pas beaucoup) plus pour trouver un majorant intégrable uniforme en $x$. ;-)
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Il suffit de prendre un segment quelconque $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ et d'écrire $\vert h(x,t)\vert \leqslant 2\max(a,b)\exp^{-2\min(a,b)^2(1+t^2)}$ qui est intégrable par comparaison à une intégrale de Riemann intégrable.
Par suite $F$ est dérivable sur tout segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ donc sur $\mathbb{R}$ tout entier. -
C'est une possibilité. Tu peux aussi remarquer que pour tout $x \in \mathbb R$ et $t \in [0, 1]$, $|2xe^{-x^2(1+t^2)}| \leq 2 |x| e^{-x^2}$ puis que cette dernière quantité est bornée, en particulier uniforme en $x$ et intégrable sur $[0, 1]$.
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Mais oui ! :-)
Comme ça plus de $t$ et bim ! je peux majorer par une constante nécessairement intégrable sur $[0,1]$.
Merci Poirot ! -
La domination par 1 n'est pas plus simple?
HSLe 😄 Farceur -
Comment ça Gebrane ?
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Céline j' ai dit une bêtise?Le 😄 Farceur
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Non c'est que je ne vois pas ce que tu veux dire
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Ah que $2xe^{-x^2}$ est majorée par 1 ?
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Je parle de la domination de $ \frac{\exp^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}$,
je n'ai pas suivi le fil.Le 😄 Farceur -
Non c'est pour la domination de la dérivée partielle en $x$ que la question se posait.
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Ah merci Celine
Pour ta question Celine, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2237616,2237714#msg-2237714 on a bien $2xe^{-x^2}$ est majorée par 1 https://www.wolframalpha.com/input/?i=2xe^{-x^2}-1Le 😄 Farceur -
Bonjour, Gebrane, il parait que tu trompes en x ou t ; je pense tu peux localiser le x sur [-m,m] puis, tu trouves la majoration par la constante :
2*m, d'où le résultat, merci. -
hunter** tu parles de quoi ?
Je reconnais j'avais mal lu la question (j’étais sur un téléphone portable) mais je suis toujours convaincu que $2xe^{-x^2}$ est majorée par 1.Le 😄 Farceur -
Est-ce que tu dois montrer l'intégrabilité par rapport à x ou t : f'< g(t) qui soit intégrable, ou f' <g(x) qui soit intégrable, puis ton x ,varie où ??
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Hunter mon x est dans $\R$ et mon g(t)=1
A cause d'une mauvaise lecture de ma part, on rallonge le fil :-D
Est ce que tu es contre $$\forall x\in \R, \forall t\in [0,1],\quad
\lvert -2x\exp^{-x^2(1+t^2)}\rvert \leqslant 1$$Le 😄 Farceur -
On est d'accord, tu peux le faire comme ça !
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Bonjour!
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