Bonsoir, lorsque $k$ est fixé , on connait un développement asymptotique de $\binom{n}{c}$ mais lorsque $c$ dépend de $n$ et est de la $c_{n}$ est équivalent à $\alpha.\sqrt{n}$ avec $\alpha>0$,Comment trouver un développement asymptotique de $\binom{n}{c_{n}}$.
Merci
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@Gon: écris la formule sous forme factorielle et utilise Stirling
Au fait je recherche un développement asymptotique de $\frac{n!}{(n-c_{n})!.n^{c_{n}}}$ et je pensais que utiliser un équivalent de $\binom{n}{c_{n}}$ était plus profitable
Par composition des limites, dès que $h(n) \rightarrow +\infty$, tu as encore $\frac{f(h(n))}{g(h(n))} \rightarrow 1$ ie $f(h(n)) \sim g(h(n))$ ce qui est notre cas avec $h(n) = n - c_n$.
Sauf erreur:
$(n-c_{n})! \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{2\pi(n-c_{n})}.(\frac{n-c_{n}}{e})^n$
d'où :
$\frac{n!}{(n-c_{n})!.n^{c_{n}}}=\sqrt{\frac{2\pi.n}{2\pi.(n-c_{n})}}.(\frac{n}{n-c_{n}})^{n}.\frac{1}{n^{c_{n}}}$.
$\sqrt{\frac{2\pi.n}{2\pi.(n-c_{n})}}$ tend vers 1 quand $n$ tend vers $+\infty$.
$(\frac{n}{n-c_{n}})^{n}=\frac{1}{(1-\frac{c_{n}}{n})^n}$. or $(1-\frac{c_{n}}{n})^n=e^{nln(1-\frac{c_{n}}{n})}=_{+\infty} e^{-c_{n}}$.
et $\frac{1}{n^{c_{n}}}=n^{-c_{n}}=e^{-c_{n}ln(n)}$.
$ \frac{n!}{(n-c_{n})!.n^{c_{n}}} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{\frac{2\pi.n}{2\pi.(n-c_{n})}}.e^{-c_{n}ln(n)}.e^{c_{n}}$ et le membre de droite est de limite nulle
Merci 8-)
$ \frac{n!}{(n-c_{n})!.n^{c_{n}}} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{\frac{2\pi.n}{2\pi.(n-c_{n})}}.e^{-\alpha^{2}}$
le $\alpha$ c'est juste parce que $c_{n}$ est équivalent à $\alpha.\sqrt{n}$
$(n-c_{n})! \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{2\pi(n-c_{n})}.(\frac{n-c_{n}}{e})^{n-c_{n}}$
Sauf erreur, je ne vois qu'une seule faute.
J'ai juste sauté des étapes.
Concernant ce que tu dis, je sais que c'est vrai que si $u_{n}-v_{n}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si cette condition est remplie, on peut passer aux exponentielles.
Moi je trouve que
$$u_n=\frac{n!}{(n-c_{n})!.n^{c_{n}}} \sim e^{-\frac {\alpha^2}2}.
$$ Pour les visiteurs, je rappelle que $(c_n) $ est une suite à valeurs dans $\N $ équivalente à $\alpha \sqrt n $, où $\alpha >0$. La suite $u$ est bien définie car à partir d'un certain rang $n-c_n>0$
Je veux bien my coller.
\begin{align*}
\frac{n!}{(n - c_n)!} \frac{1}{n^{c_n}}
&\sim \frac{\sqrt{2n\pi}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{\sqrt{2(n - c_n)\pi}\left(\frac{n - c_n}{e}\right)^{n - c_n}}\frac{1}{n^{c_n}}\\
&= \sqrt{\frac{n}{n - c_n}} \frac{n^n}{e^n}\frac{e^{n - c_n}}{\left(n - c_n\right)^{n - c_n}}\frac{1}{n^{c_n}}\\
&= \frac1{\sqrt{1 - \frac{c_n}{n}}} \frac{n^n}{e^n}\frac{e^{n}e^{-c_n}}{\left(n - c_n\right)^{n}}\frac{\left(n - c_n\right)^{c_n}}{n^{c_n}} \\
&= \frac1{\sqrt{1 - \frac{c_n}{n}}} \frac{n^ne^{-c_n}}{\left(n - c_n\right)^{n}}\frac{\left(n - c_n\right)^{c_n}}{n^{c_n}} \\
&= \frac1{\sqrt{1 - \frac{c_n}{n}}} \left(\frac{n}{n - c_n}\right)^n e^{-c_n}\left(\frac{n - c_n}{n}\right)^{c_n} \\
&= \frac1{\sqrt{1 - \frac{c_n}{n}}} \left(\frac{1}{1 - \frac{c_n}{n}}\right)^n e^{-c_n}\left(1 - \frac{c_n}{n}\right)^{c_n} \\
&= \frac1{\sqrt{1 - \frac{c_n}{n}}} e^{-n\ln\left(1 - \frac{c_n}{n}\right)} e^{-c_n} e^{c_n\ln\left(1 - \frac{c_n}{n}\right)}\\
&\sim 1 \times e^{c_n} e^{-c_n} e^{-\frac{c_n^2}{n}} \\
&= e^{-\frac{c_n^2}{n}} \sim e^{-\alpha^2},
\end{align*} car $\ \dfrac{c_n^2}{n} \sim \dfrac{\left(\alpha\sqrt{n}\right)^2}{n} = \dfrac{\alpha^2 n}{n} = \alpha^2$ et par continuité de $\exp$.
$e^{-n\ln\left(1 - \frac{c_n}{n}\right)}\sim e^{c_n}$
Edit:
Ah je me rends compte que tu as raison: il faut pousser un ordre plus loin pour tomber sur $\sim e^{c_n + \frac{c_n^2}{2n}}$ et donc on aurait $e^{-\frac{\alpha^2}{2}}$ comme tu l'as trouvé
Oui merci j'avais fait une erreur dans mon développement. Merci @gebrane