Holomorphie d'une fonction

Une façon de faire, c'est de trouver une expression de l'argument ou mieux, de la moitié de l'argument, en fonction de $x$ et $y$ (la figure ci-dessous devrait aider), puis de vérifier brutalement les conditions de Cauchy-Riemann.

Une autre façon, c'est d'exprimer les conditions de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires, cf. par exemple ici.

Une autre façon, c'est de chercher un domaine $U$ sur lequel $\exp:U\to\C\setminus\R^-$ est bijective, de vérifier que sa réciproque $\log:\C\setminus\R^-\to U$ est holomorphe (c'est presque évident si on s'y prend bien) et de définir la racine carrée à l'aide de $\log$.

Une autre façon, c'est de vérifier que si $f:U\to V$ est bijective et holomorphe, alors $f^{-1}$ est holomorphe aussi (c'est en fait utile pour la méthode précédente) et d'appliquer cela à $z\mapsto z^2$ sur des domaines bien choisis.

Sinon, pour écrire $\sqrt{z}$ et $\sqrt{|z|}$, c'est \sqrt{z} et \sqrt{|z|}.