Invariance par rapport à l'angle

$Ce^{ar^2}?$

Qu'est-ce que $ \mathcal S (\R) $?

Si $f(x,y)=f(x\cos t-y\sin t, x\sin t+\cos t)$ alors $f$ est invariant par rotation et est donc de la forme $g(x^2+y^2)$. Tu recherches donc les $g$ de la forme $g(x^2+y^2)=\Phi(x)\Phi(y)=h(x^2)h(y^2)$ ou $g(a+b)=h(a)h(b)$ pour $a,b\geq 0.$ Petite discussion facile montrant que si $g(a_0)=0$ alors $h$ est identiquement nul. Petite discussion facile montrant que si $g$ n'est jamais nul alors $h$ est de signe constant. Puis enfin discussion de $ \log g(a+b)=\log |h(a)|+\log |h(b)|$ qui a ete faite cent fois sur le forum montrant que si $|h|$ a la moindre regularite (mesurable, par exemple) alors son log est lineaire. Ici a cause de l'espace de Schwartz tout est derivable et donc voir que $(\log g)'$ est constant est evident.