Homéomorphisme

mathspe
mathspe
dans Analyse
Bonjour
Si j'ai deux sous-espaces homéomorphes et si l'un est de mesure de Lebesgue nulle, est-ce que l'autre est forcément de mesure nulle ?
Merci.

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    $]0;1[$ et $\mathbb{R}$ sont homéomorphes sauf erreur (chacun muni de la topologie "usuelle")
  • mathspe
    mathspe
    Merci fin de partie, donc elle n'est pas une propriété topologique.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Mathspe: c'est ce que je suspecte en effet.
  • Amathoué
    Amathoué
    Je ne vois pas en quoi ton exemple répond à la question Fdp.
    Mais sinon, les homéomorphismes n’ont aucune raison de préserver une mesure.
  • gebrane
    gebrane
    Cherche deux compacts de [0,1] homéomorphes, l’un de mesure nulle, l’autre de mesure strictement positive
    Le 😄 Farceur


  • Namiswan
    Namiswan
    Tous les Cantor de R sont homéomorphes. Tous les Cantors de R ne sont pas de mesure nulle
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Ibni:

    Mon exemple ne répond pas directement à la question j'en suis bien d'accord. Si la notion de mesure de Lebesgue était une notion topologique on devrait avoir que deux ensembles homéomorphes ont la même mesure de Lebesgue mais il me semble que mon exemple indique que ce n'est pas toujours le cas et que donc cette notion n'est pas un invariant topologique ce qui rend peu probable une réponse positive à la question posée.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Fin de partie, $]0,1[$ et $\Bbb R$ sont difféomorphes. Donc si on suit ton raisonnement heuristique, les difféomorphismes ne devraient pas préserver le caractère Lebesgue-négligeable des sous-ensembles de $\Bbb R$. Pourtant, ils le préservent. Voilà pourquoi ton idée est peu convaincante, je trouve.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    La mesure de Lebesgue de l'intervalle $]0,1[$ est, me semble-t-il, $1$ tandis que si la mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}$ existe elle n'est pas finie.
    Donc cela me semble bien montrer que la notion de mesure de Lebesgue n'est pas une notion topologique puisque$]0;1[$ et $\mathbb{R}$ sont homéomorphes (topologies habituelles).
    Un raisonnement heuristique n'est pas une preuve mathématique recevable, je ne dis pas le contraire.
  • hunter**
    hunter**
    Bonsoir à tous , c'est faux ,en fait on prend un homéomorphisme entre C (l'ensemble de cantor et R/Q) vue ,qu'ils n'ont pas la même mesure de lebesgue ,(l'une est nulle et l'autre est infinie ,on aura bien le contre exemple, pour ce que j"ai mentionné comme résultat , sincèrement je connais pas la démo ,je l'ai trouvé sur Wikipédia , =>exemples :espace de dimension 0, merci ,j'attends vos interventions.
  • raoul.S
    raoul.S
    hunter** a écrit:
    en fait on prend un homéomorphisme entre C (l'ensemble de Cantor et R/Q)

    Le problème est qu'il n'y a pas d'homéomorphisme entre l'ensemble de Cantor et $\R\setminus \Q$ car le premier est compact et pas le deuxième.
  • hunter**
    hunter**
    Oui c'est intuitif Raoul ce que t'as dit, la page m'a fait trompé, je pense que ce qu'il a dit contredit ce résultat, plutôt ce qu'il a dit n'est pas vraiment clair ; sinon je ne sais pas si on peut trancher de l'ensemble de [large]C[/large]antor des éléments afin d'aboutir..

    [Georg Cantor (1845-1918) prend toujours une majuscule. AD]
  • mathspe
    mathspe
    Merci infiniment à tous
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