Fonction DSE et effet Runge

cosomegat · May 2021

Bonjour,
dans le cadre de mon TIPE, j'ai fait quelques tests d'interpolation polynomiale sur python, et j'observe un phénomène que je comprends pas.
Lorsque j'interpole la fonction x: exp(-50.x^2) sur [-1,1] avec 20 points équidistants, le phénomène de Runge se produit.
pour n=20

Or d'après le corollaire III.1.12 p 35 de https://www.math.univ-toulouse.fr/~fboyer/_media/enseignements/agreg/cours_an_agreg_fboyer_2014.pdf
l'effet Runge ne devrait pas se produire pour une fonction DSE sur R.
Je me trompe quelque part ?
Merci d'avance

bd2017 · May 2021

Bonjour
Oui ça peut paraitre étonnant et contradictoire.

Mais d'une part le théorème dit que $e_n=||f-p_n||_\infty$ tend vers 0 mais il ne dit pas à quelle vitesse.

D'autre part il s'agit d'un résultat théorique qui ne tient pas en compte d'une instabilité numérique éventuelle.

Pourquoi as-tu pris $f(x)=\exp(-50 x^2)\ ?$ En effet dès que tu t'éloignes de 0, $ f(x)$ est très proche de zéro.
$f(x)=\exp(-2 x^2)$ présente peut être le même phénomène (mais avec $n$ plus grand ?) .

Pour compléter ton travail il serait bien si possible d'estimer $e_n$ et si par hasard numériquement tu trouves une erreur supérieure à $e_n $ c'est d'expliquer mathématiquement l'origine de cette erreur.

cosomegat · May 2021

Bonjour, merci pour votre réponse.
Un majorant de $e_n$ est donné à la ma même page à la fin de la démonstration : $ \frac{Cr(b-a)^n}{(r-(b-a)/2))^{n+1}}$
Et en effet, en regardant la définition de C et pour r=5 par exemple, la constance C dans le cas de cette fonction est très grande (puisque les coefficients de la série entières sont très grands pour k<=50 ).
J'avoue ne pas avoir très envie de faire les calculs précisément mais je pense maintenant comprendre pourquoi ça ne marche pas pour 50.
D'ailleurs en prenant exp(-20x^2) je viens de me rendre compte qu'au début (n=20) on a l'impression qu'il y a effet Runge, et en fait pour n=40 c'est nickel.
J'ai fais l'erreur de croire que s'il n'y avait pas d'effet Runge, la convergence était forcément très rapide.
Merci encore !

bd2017 · May 2021

Ok donc pas d'effet Runge, ni de problème numérique.
mais convergence de $e_n$ lente. exp(-20x^2) me semble une meilleur option pour présenter le phénomène.

Fonction DSE et effet Runge

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