Analyse complexe - calcul d'une intégrale

Bonjour.
J'aimerais calculer l'intégrale suivante :
$$I = \int_{C(0,R)}\frac{z^2}{z^3+1}\mathrm{d} z,
$$ où $C(0,R)$ désigne le cercle de centre l'origine et de rayon $R>1$.

Avec le théorème des résidus on trouve $I = 2i\pi$ (enfin je crois !).
J'ai voulu faire autrement en utilisant une primitive de $f(z):=\dfrac{z^2}{z^3+1}$.
Je découpe le cercle en deux demi-cercles : $\alpha_R$ de $-iR$ à $iR$ et $\beta_R$ de $iR$ à $-iR$.
On a alors $I = \int_{\alpha_R}f(z)\mathrm{d} z + \int_{\beta_R}f(z)\mathrm{d} z =I_{1} + I_2$.

Sur $\alpha_R$, j'utilise la détermination principale de logarithme $\ln(z) = \ln|z| + \arg(z),$ avec $\arg(z) \in \,]-\pi,\pi[$.
J'obtiens : $I_1 = \frac{1}{3}\left[\ln((iR)^3+1) - \ln((-iR)^3+1)\right] = \frac{1}{3}\left[\ln(1-iR^3) - \ln(1+iR^3)\right] =
\frac{1}{3}\left[\ln(\sqrt{1+R^6} -i \theta) -\ln(1+R^6) - i\theta \right],$ où $\theta$ désigne l'argument de $1+iR^3$ appartenant à $]-\pi,\pi[$. On a alors $I_1 = -\frac{2}{3}i\theta$.

Sur $\beta_R$, j'utilise la détermination du logarithme $\ln(z) = \ln|z| + \arg(z)$ avec $\arg(z) \in \,]-2\pi,0[$.
J'obtiens : $I_2 = \frac{1}{3}\left[\ln(1+iR^3) - \ln(1-iR^3)\right] = \frac{1}{3}\left[\ln(\sqrt{1+R^6} + i \beta) - \ln(1+R^6) - i\alpha \right],$ où $\beta$ désigne l'argument de $1+iR^3$ appartenant à $]-2\pi,0[$ et $\alpha$ désigne l'argument de $1-iR^3$ appartenant à $]-2\pi,0[$. On a alors $I_2 = \frac{1}{3}i(\beta-\alpha)$.

Compte tenu de $\alpha = -\theta$ et $\alpha+\beta=-2\pi$, on a alors $I = I_1+I_2 = -\frac{2}{3}i\theta$.
Où est mon erreur ? Ne peut-on pas utiliser deux déterminations du logarithme différentes ?