Analyse complexe - calcul d'une intégrale
Bonjour.
J'aimerais calculer l'intégrale suivante :
$$I = \int_{C(0,R)}\frac{z^2}{z^3+1}\mathrm{d} z,
$$ où $C(0,R)$ désigne le cercle de centre l'origine et de rayon $R>1$.
Avec le théorème des résidus on trouve $I = 2i\pi$ (enfin je crois !).
J'ai voulu faire autrement en utilisant une primitive de $f(z):=\dfrac{z^2}{z^3+1}$.
Je découpe le cercle en deux demi-cercles : $\alpha_R$ de $-iR$ à $iR$ et $\beta_R$ de $iR$ à $-iR$.
On a alors $I = \int_{\alpha_R}f(z)\mathrm{d} z + \int_{\beta_R}f(z)\mathrm{d} z =I_{1} + I_2$.
Sur $\alpha_R$, j'utilise la détermination principale de logarithme $\ln(z) = \ln|z| + \arg(z),$ avec $\arg(z) \in \,]-\pi,\pi[$.
J'obtiens : $I_1 = \frac{1}{3}\left[\ln((iR)^3+1) - \ln((-iR)^3+1)\right] = \frac{1}{3}\left[\ln(1-iR^3) - \ln(1+iR^3)\right] =
\frac{1}{3}\left[\ln(\sqrt{1+R^6} -i \theta) -\ln(1+R^6) - i\theta \right],$ où $\theta$ désigne l'argument de $1+iR^3$ appartenant à $]-\pi,\pi[$. On a alors $I_1 = -\frac{2}{3}i\theta$.
Sur $\beta_R$, j'utilise la détermination du logarithme $\ln(z) = \ln|z| + \arg(z)$ avec $\arg(z) \in \,]-2\pi,0[$.
J'obtiens : $I_2 = \frac{1}{3}\left[\ln(1+iR^3) - \ln(1-iR^3)\right] = \frac{1}{3}\left[\ln(\sqrt{1+R^6} + i \beta) - \ln(1+R^6) - i\alpha \right],$ où $\beta$ désigne l'argument de $1+iR^3$ appartenant à $]-2\pi,0[$ et $\alpha$ désigne l'argument de $1-iR^3$ appartenant à $]-2\pi,0[$. On a alors $I_2 = \frac{1}{3}i(\beta-\alpha)$.
Compte tenu de $\alpha = -\theta$ et $\alpha+\beta=-2\pi$, on a alors $I = I_1+I_2 = -\frac{2}{3}i\theta$.
Où est mon erreur ? Ne peut-on pas utiliser deux déterminations du logarithme différentes ?
J'aimerais calculer l'intégrale suivante :
$$I = \int_{C(0,R)}\frac{z^2}{z^3+1}\mathrm{d} z,
$$ où $C(0,R)$ désigne le cercle de centre l'origine et de rayon $R>1$.
Avec le théorème des résidus on trouve $I = 2i\pi$ (enfin je crois !).
J'ai voulu faire autrement en utilisant une primitive de $f(z):=\dfrac{z^2}{z^3+1}$.
Je découpe le cercle en deux demi-cercles : $\alpha_R$ de $-iR$ à $iR$ et $\beta_R$ de $iR$ à $-iR$.
On a alors $I = \int_{\alpha_R}f(z)\mathrm{d} z + \int_{\beta_R}f(z)\mathrm{d} z =I_{1} + I_2$.
Sur $\alpha_R$, j'utilise la détermination principale de logarithme $\ln(z) = \ln|z| + \arg(z),$ avec $\arg(z) \in \,]-\pi,\pi[$.
J'obtiens : $I_1 = \frac{1}{3}\left[\ln((iR)^3+1) - \ln((-iR)^3+1)\right] = \frac{1}{3}\left[\ln(1-iR^3) - \ln(1+iR^3)\right] =
\frac{1}{3}\left[\ln(\sqrt{1+R^6} -i \theta) -\ln(1+R^6) - i\theta \right],$ où $\theta$ désigne l'argument de $1+iR^3$ appartenant à $]-\pi,\pi[$. On a alors $I_1 = -\frac{2}{3}i\theta$.
Sur $\beta_R$, j'utilise la détermination du logarithme $\ln(z) = \ln|z| + \arg(z)$ avec $\arg(z) \in \,]-2\pi,0[$.
J'obtiens : $I_2 = \frac{1}{3}\left[\ln(1+iR^3) - \ln(1-iR^3)\right] = \frac{1}{3}\left[\ln(\sqrt{1+R^6} + i \beta) - \ln(1+R^6) - i\alpha \right],$ où $\beta$ désigne l'argument de $1+iR^3$ appartenant à $]-2\pi,0[$ et $\alpha$ désigne l'argument de $1-iR^3$ appartenant à $]-2\pi,0[$. On a alors $I_2 = \frac{1}{3}i(\beta-\alpha)$.
Compte tenu de $\alpha = -\theta$ et $\alpha+\beta=-2\pi$, on a alors $I = I_1+I_2 = -\frac{2}{3}i\theta$.
Où est mon erreur ? Ne peut-on pas utiliser deux déterminations du logarithme différentes ?
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Réponses
Je me demande si tu peux, dans un même calcul, utiliser différentes détermination du logarithme.
tu ne peux pas "traverser" l'axe des réels négatifs pour avoir
une seule détermination du log. D'où ton erreur.
Mais alors tu fais ton calcul non pas sur le cercle entier mais sur l'arc de cercle
qui va des point d'arguments $]-\pi+\epsilon[$ à $]\pi-\epsilon[$ et tu fais tendre
$ \epsilon$ vers 0.
$\ln {-1\over -1}=\ln 1=0$.
Puis tu écris $\ln{-1\over -1}=\ln(-1)-\ln(-1).$
Si pour $-1$ tu utilises la détermination $[0,2\pi[$, tu trouves $-1=e^{i \pi}.$
Si pour $-1$ tu utilises la détermination $[-\pi,\pi[$, tu trouves $-1=e^{-i \pi}.$
Et donc $0=i\pi -(-i \pi)=2 i \pi.$
Il faut garder la même détermination dans tout le calcul, sinon on peut obtenir des résultats faux.
Lorsque epsilon tend vers 0, l'argument du nombre z_{epsilon} va tendre vers pi donc l'argument de z_{epsilon}^3 et donc z_{epsilon}^3+1 vers 3pi mais comme on utilise la détermination principale du logarithme, l'argument de z_{epsilon}^3+1 va tendre vers pi ???
$1+z ^3$ (puisque le $\log$ qui est considéré c'est celui de $1+z^3.$)
Ce qui revient à couper l'intégrale en 3 morceaux pour $z\in ]-\pi+\epsilon,- \pi+2\pi/3 - \epsilon[ ,\ldots $
Normalement ça devrait marcher.
Lorsque $z$ est dans cet arc de cercle, $z^3+1$ va traverser $\mathbb{R}^-$ ?
bd2017 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2239146,2240080#msg-2240080
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
Quand $\theta=\arg(z) = -\pi + \epsilon$ l'argument de $1+z^3$ est proche de $-\pi$
$\theta=\arg(z) = -\pi+3\pi/2 - \epsilon$ l'argument de $1+z^3$ est proche de $+\pi$
je signale que l'intégrale $\ \displaystyle I = \int_{-R}^{+R}\frac{x^2dx}{1+x^3}\ $ est convergente et donne un résultat réel positif.
Avec $R > 1$ l'intervalle d'intégration comporte une discontinuité du premier ordre pour $x = - 1.$
mais nous allons voir avec les limites que cette discontinuité importe peu.
$\displaystyle I = \lim_{t\to0}\int_{-R}^{-1- t}\frac{x^2.dx}{1+x^3} +\int_{-1 + t}^R\frac{x^2dx}{1+ x^3}$ soit :
$\displaystyle I = \lim_{t\to0}\tfrac{1}{3}\ln|1+x^3|,$ à calculer de $- R$ à $- 1 - t
+\lim\limits_{t\to0}\frac{1}{3}\ln|1+x^3|,$ à calculer de $- 1 + t$ à $R.$
Soit $\dfrac{1}{3}\ln\dfrac{R^3 + 1}{R^3 - 1}$ + limite pour $t \to 0$ de $\dfrac{1}{3}\ln\Big|\dfrac{-3t}{3t}\Big|$ (cette dernière limite est nulle).
$$
I = \frac{1}{3}\ln\frac{R^3 + 1}{R^3 - 1}.
$$ Cordialement.