Groupe des isométries et espace tangent

Bonjour
Je m'interroge sur l'énoncé suivant qui me paraît vrai mais je ne trouve pas de trace de cela en ligne.

"Si G est le groupe des isométries d'un espace vectoriel réel de dimension n pour une norme quelconque, l'espace tangent à G en l'identité est bien un espace vectoriel et que sa dimension est "maximale" c'est-à-dire la même que pour le groupe orthogonal (n(n-1)/2) ("maximale" car on sait déjà que G est conjugué à un sous-groupe de celui-ci par un résultat classique), alors la norme considérée est euclidienne."

Je précise que cet énoncé me paraît "intuitif" pour les raisons suivantes.
- En dimension 2, si G est infini alors la norme est euclidienne (on retrouve ce résultat dans les thèmes de géométrie d'Alessandri).
- Ce théorème tombe en défaut en dimension 3 (considérer en dimension 3 une boule unité cylindrique): d'où ma question qui vise à établir une généralisation.
- Les contre-exemples en dimension 3 ou plus font que G ressemble au groupe orthogonal en dimension inférieure : ils sont infinis mais "peu" par rapport au groupe orthogonal de leur dimension.
- La notion de dimension de l'espace tangent me semble bienvenue vu son interprétation en terme "d'épaisseur" de G.

Je précise de plus que je suis en 2nde année de CPGE : mes connaissances en géométrie différentielle et cie sont très limitées, et des réponses se limitant à mon niveau seraient préférables, même si toute aide est la bienvenue.
En espérant que cela intéresse...