Domaine d'un opérateur

Simplement son espace de définition (qui est donc un espace vectoriel, puisque application linéaire).
En analyse fonctionnelle on est particulièrement amené à considérer des espaces de fonctions particuliers et à jongler entre eux. On va par exemple choisir les fonctions de carré intégrable comme espace ambiant pour avoir un Hilbert, et résoudre un problème aux dérivées partielles en introduisant un certain opérateur (la transformée de Fourier-Plancherel, la multiplication par t, ou que sais-je encore).
La résolution de ce type de problèmes implique cependant de bouger d'espace et se restreindre à un sous-espace de L^2 (typiquement les espaces de Sobolev pour ce que je connais, ou l'espace de Schwartz si on est dans des espaces de fonctions plus régulières par exemple). Donc nos opérateurs devront être définis en tenant compte de l'ensemble de fonctions sur lesquelles on les applique.

On peut dire que j'ai fait un pavé juste pour dire : "le domaine c'est juste l'ensemble de définition, comme pour les simples fonctions d'une variable réelle, c'est important de savoir d'où part la fonction et ça fait partie intégrante de sa définition".
Mais c'était une bonne occasion de mettre en garde sur ce genre de choses en analyse fonctionnelle. On a vite fait de résoudre un peu trop facilement des problèmes en utilisant plein d'opérateurs commodes avant de se rendre compte qu'on n'a rien produit de rigoureux justement pour avoir appliqué des opérateurs sur des fonctions hors de leur domaine.