Approximation polynomiale, applications ?
Bonjour à tous.
Je suis en filière MP et je prépare un TIPE (de maths) qui porte sur l'approximation de fonctions continues sur un segment par des fonctions polynomiales (j'ai déjà posté un message il y a quelques jours à ce propos). Je traite en particulier l'approximation par interpolation et l'approximation par la projection de la fonction étudiée dans l'espace engendré par les polynômes orthogonaux (méthode des moindres carrés)
J'ai présenté mon travail à mon prof, et il m'a dit que la théorie était ok, mais qu'il manquait un apport personnel qui passerait par l'illustration de cette théorie : une application concrète de technique d'approximation. Et en fait je me suis rendu compte que je ne savais pas exactement à quoi ça servait en pratique (pour un ingénieur par exemple).
Dans les ouvrages dont je me suis servi, il est très brièvement expliqué que ça sert à évaluer rapidement une fonction compliquée à évaluer directement. Mais je ne vois pas de quelles fonctions il s'agit. Auriez-vous des exemples à me proposer ?
Cela permettrait également à dériver ou à intégrer facilement la fonction, mais je ne vois pas ce que ça apporte en plus par rapport aux méthodes de dérivations numériques et d'intégrations numériques déjà connues...
D'ailleurs, pour faire la projection de $f$ dans $P_0,\ldots,P_n$ les polynômes orthogonaux relatifs à un certain poids $w $, il faut calculer $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)P_i(x)w(x) \, \mathrm{d}x$ pour tout $i$ de $0$ à $n$... Donc ça me parait paradoxal.
En vous remerciant par avance pour votre aide.
Je suis en filière MP et je prépare un TIPE (de maths) qui porte sur l'approximation de fonctions continues sur un segment par des fonctions polynomiales (j'ai déjà posté un message il y a quelques jours à ce propos). Je traite en particulier l'approximation par interpolation et l'approximation par la projection de la fonction étudiée dans l'espace engendré par les polynômes orthogonaux (méthode des moindres carrés)
J'ai présenté mon travail à mon prof, et il m'a dit que la théorie était ok, mais qu'il manquait un apport personnel qui passerait par l'illustration de cette théorie : une application concrète de technique d'approximation. Et en fait je me suis rendu compte que je ne savais pas exactement à quoi ça servait en pratique (pour un ingénieur par exemple).
Dans les ouvrages dont je me suis servi, il est très brièvement expliqué que ça sert à évaluer rapidement une fonction compliquée à évaluer directement. Mais je ne vois pas de quelles fonctions il s'agit. Auriez-vous des exemples à me proposer ?
Cela permettrait également à dériver ou à intégrer facilement la fonction, mais je ne vois pas ce que ça apporte en plus par rapport aux méthodes de dérivations numériques et d'intégrations numériques déjà connues...
D'ailleurs, pour faire la projection de $f$ dans $P_0,\ldots,P_n$ les polynômes orthogonaux relatifs à un certain poids $w $, il faut calculer $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)P_i(x)w(x) \, \mathrm{d}x$ pour tout $i$ de $0$ à $n$... Donc ça me parait paradoxal.
En vous remerciant par avance pour votre aide.
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Réponses
Voici un exemple concret, avec tout le déroulement de la discussion.
En dessin industriel, on utilise beaucoup d'approximations par des splines.
Cordialement.
https://agreg-maths.fr/lecons/1105
https://agreg-maths.fr/lecons/916
merci beaucoup pour vos réponses.
gerard0 :
Pour le fil que vous m'avez indiqué, je crois que le problème n'est pas le même que le mien.
Ils cherchent à approximer des points issus d'une expérience par une exponentielle, or moi je cherche à approximer des fonctions (et non des nuages de points) avec des fonctions polynomiales.
Pour les splines, oui en effet, mais j'ai choisi de ne pas en parler car je ne dispose que de 15 minutes pour ma présentation je ne peux pas tout aborder... Donc j'ai souhaité restreindre mon champ d'étude à l'approximation par de "vraies" fonctions polynomiales, pas par morceaux.
marsup :
Alors j'ai regardé les applications qui sont proposés dans les développements, mais ce sont des résultats très théoriques (justement ce qui m'a été reproché par mon prof). Je cherche des résultats pratiques de la théorie de l'approximation, en gros un problème physique/ informatique/ "numérique" précis qui va nécessiter son utilisation.
Je crois que ça existebien, cf l'introduction de cet article (payant malheureusement) https://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/methodes-numeriques-42105210/approximation-des-fonctions-af1480/#biblio-sl11462175
"Notre but est bien plutôt l'approximation pratique de fonctions lisses quelconques en vue d'un traitement numérique, que ce soit pour en tirer une information par le calcul différentiel et intégral ou pour les introduire comme ansatz (inconnue à déterminer) dans la solution d'équations, en particulier différentielles. Nous nous référerons souvent à l'« idée fondamentale » suivante :
Résoudre les problèmes du calcul différentiel et intégral pour une fonction quelconque en la remplaçant par une approximation suffisamment précise et résolvant le problème pour cette dernière."
Mais j'ai beau chercher, je ne trouve pas d'exemples
Votre problème, si je le comprends bien, est issu des techniques d'intégration numérique de type Gauss-Legendre (entre autres).
A l'époque, cela permettait surtout de remplacer le calcul exact d'une intégrale dont une primitive était trop compliquée, voire impossible à obtenir, par un calcul approché qui avait l'avantage de n'utiliser que des évaluations (pondérées) de la fonction difficile à primitiver, en des valeurs de l'argument particuliers fixés une fois pour toutes suivant la précision voulue et la nature de la méthode.
Ces méthodes avaient (entre autres avantages) de pouvoir s'appliquer sur des bornes d'intégration arbitraires avec une précision similaire sans modifier le nombre de calculs, contrairement aux méthodes d'intégration de type "rectangle" ou "trapèze " où la précision du calcul dépend fortement du pas d'intégration.
Cela dit, une application actuelle me semble difficile à mettre en valeur, les techniques d'intégration formelles ayant énormément progressé depuis et quand une fonction est trop compliquée à intégrer, elle se retrouve la plupart du temps soigneusement étudiée formellement et "intégrée" aux logiciels actuels.
Les seuls exemples auxquels je pense éventuellement faire référence sont les circuits spécifiques de certaines calculatrices scientifiques sans calcul formel (TI-68 entre autres), qui utilisent ce genre de technique pour évaluer les intégrales (résultat purement décimal, avec précision fixée, généralement les 6 chiffres de poids forts sont corrects, c'est par exemple suffisant pour évaluer Erf, ou l'aire sous la courbe d'une loi de Student).
Ce n'est pas ce qu'on pourrait appeler "un problème d'ingénierie actuel", désolé.
À bientôt.
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Dans le sens où ce n'est pas des exponentielles qu'ils veulent approximer, oui. Par contre l'aspect "nuage de points" n'a pas d'importance, c'est bien une fonction qu'ils veulent approximer, fonction connue par certaines valeurs.
La recherche de modèles affines, ou quadratiques (fonction de degré 2) pour des modélisations se fait toujours, c'est un des chapitres des statistiques. Parfois des modèles de degré 3, ou des lois de puissance. Mais ce n'est pas vraiment ce que tu cherches.
Effectivement, l'utilisation concrète de ces techniques a fortement diminué, puisqu'on ne calcule plus à la main .
Cordialement.