Polynôme du mercredi 12 mai 2021

Bonjour,
Je doute qu'il y en ait (si $a$ est racine, $1-a$ est racine aussi).
Je crois qu'il y a une erreur à la dernière condition. Ce ne serait pas plutôt $|z-1/2|< ...$?

edit: oups, j'ai dû confondre avec $2^{-5}$, j'étais persuadé que le rayon était inférieur à 1/2.

Il y a déjà le polynôme $P=X^2-X$ qui convient.

Bonjour,

Tout polynôme $P$ à coefficients entiers relatifs tel que $P(x)=P(1-x)$ s’écrit $P(x)=\sum_{k=0}^p a_k x^k=\sum_{k=0}^{p/2} b_k(x-x^2)^k$ avec $p$ pair, les $a_k,b_k$ des entiers relatifs.
Si de plus $P$ est unitaire alors $a_p=b_{p/2}=1.$

Bonjour,

On a :

$\bullet$ Tout polynôme $P$ à coefficients entiers relatifs tel que $P(x)=P(1-x)$ s’écrit $P(x)=\sum_{k=0}^p a_k x^k=\sum_{k=0}^{p/2} b_k(x-x^2)^k$ avec $p$ pair, les $a_k,b_k$ des entiers relatifs.
Si de plus $P$ est unitaire alors $a_p=b_{p/2}=1.$

Je continue ma recherche :
$\bullet$ Tout polynôme solution est de la forme : $P(x) = (x(x-1))^m Q(x(x-1))$ avec $Q$ unitaire, dans les entiers relatifs, et dont le coefficient constant est non nul.

La démonstration est évidente : il suffit de factoriser le terme $(x(x-1))^p$ avec $p$ le plus petit exposant dans le polynôme solution.

$\bullet$ On en déduit qu'on peut restreindre l'étude aux polynômes $Q$ de coefficient constant non nul. En effet, les racines $0$ et $1$ du terme $(x(x-1))^m$ sont $<2^{1/5}.$

Donc il suffit d'étudier :
$\bullet$ Tout polynôme $P$ unitaire à coefficients entiers relatifs tel que $P(x)=P(1-x)$ et donc : $P(x)=\sum_{k=0}^p a_k x^k=\sum_{k=0}^{p/2} b_k(x-x^2)^k$ avec $p$ pair, les $a_k,b_k$ des entiers relatifs, $a_p=b_{p/2}=1$ et $a_0=b_0 \neq 0.$

Par exemple : $Q(x) = x(x-1) + 1$ convient puisque ces racines sont sur le cercle unité. C'est le seul polynôme solution de la forme $x(x-1)+b_0.$

Donc : $(x(x-1))^m [x(x-1)+1]^q$ convient pour tout $m$ avec $q \in \{0,1\}.$

A poursuivre.

Je ne comprends pas pourquoi YvesM est sur la bonne piste.
$P(x)=(x-\frac 12)^{2n}$ convient, et il n'est pas impliqué par ce qu'a dit YvesM. Je crois qu'on m'a pas lu, je me répète:


Si $ P $ est un polynôme tel que $ P (x) = P (1-x) $ pour tout nombre réel $ x $, on pose $Q(x)=P(x+\frac 12)$ alors pour tout nombre réel $ x $ , $Q(x)=P(x+\frac 12)=P(1-(x+\frac 12))=Q(-x)$ alors $ Q $ est un polynôme pair, donc $Q(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^{2k}$ donc $$P(x)=\sum_{k=0}^n a_k(x-\tfrac 12)^{2k}.
$$

Etanche cette condition m'a complètement échappé

Bonjour,

Je continue :
Si le polynôme est de la forme $(x(x-1))^m + b_0$, alors on peut toujours factoriser en écrivant $b_0 = -t^m$ avec $t$ complexe, par $x(x-1) - t.$ Comme le produit des racines est $z_1 z_2 = -t$ on a $|t| <2^{2/5} = 1.31(9)$ et donc $|t| = 1$ ; et donc $|b_0| = 1.$
Si $b_0 = -1$, on factorise par $x(x-1)-1$ qui ne convient pas.
Si $b_0 = 1$, on factorise par $x(x-1) - e^{i \pi/m}$ qui ne convient pas (il suffit de faire le calcul des racines) sauf pour $m=1$.

Conclusion : parmi tous les polynômes de la forme $(x(x-1))^m + b_0$ avec $m$ entier non nul et $b_0$ entier relatif, seuls $(x(x-1))^m$ et $x(x-1) + 1$ conviennent.

Il me reste le cas général, par exemple : $(x(x-1))^5 + 3 (x(x-1))^3 - 7 x(x-1) + 1.$