Flot tourbillonnant

christophe c · May 2021

Un grand merci à MARCO pour cette idée. Je formule formellement une question inspirée par lui.

Existe-t-il $(f,n)$ allant de $\R^n$ dans $\R^n$, avec $n>1$ et, $f$ continue telle que

1/ $\forall x: f(x)$ est un vecteur de norme 1 (distance l'euclidienne canonique associée)

2/ Pour tout "flot" $g: \R\to \R^n$ associé à $f$, il existe une boule $B$ telle que $\forall x: g(x)\in B$

$g$ est dit "flot associé à $f$" quand $\forall x: g'(x) = f(g(x))$.

marsup · May 2021

Bonjour Christophe,

Ce n'est pas le flux, c'est le flot. https://fr.wikipedia.org/wiki/Flot_(mathématiques)

En géométrie différentielle, un champ de vecteurs, c'est la même chose qu'une équation différentielle ordinaire du premier ordre (une seule variable de temps, avec une condition initiale dans l'espace.)

Le flux, c'est l'intégrale de la composante normale d'un champ de vecteurs à travers une hypersurface. (comme pour mesurer le débit d'une rivière) https://fr.wikipedia.org/wiki/Flux_(mathématiques)

gebrane · May 2021

Surtout ce n’était pas marco mais marsup. Un trouble de vision cc?

Dom · May 2021

Je crois que c’est ce message et donc bien marco.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2238604,2238692#msg-2238692

Calli · May 2021

Bonjour,
Je crois que le message de marco est celui-là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,2239004#msg-2239004. Oui parce que ça n'est pas assez difficile de suivre Christophe, il faut en plus qu'il étale sa question sur trois fil. Christophe, tu veux vraiment perdre les gens qui pourraient te répondre ?

[small]Edit : envoyé en même temps que le message de Dom[/small]

gebrane · May 2021

Dom, j'avais suivi la discussion, voici ma preuve

marsup · May 2021

J'ajoute pour mémoire que pour qu'un champ de vecteur ait un flot bien défini, (unique !)l'hypothèse de continuité n'est pas suffisante.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Cauchy-Lipschitz#Flot demande que le champ de vecteurs soit localement lipschitzien.

Si notre champ de vecteurs est seulement continu, l'existence est garantie par le Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Cauchy-Peano-Arzelà mais il n'y a pas unicité. Christophe est prudent ci-dessus en parlant bien de "un flot".

Sinon, comme gebrane, j'imagine, puisqu'il n'a pas réagi, je n'ai toujours pas compris la "démonstration" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2238604,2239514#msg-2239514 de Christophe sur l'autre fil.

christophe c · May 2021

Merci à tous pour vos corrections, j'ai directement effectué la modification dans le premier post, sans laisser trace de l'erreur où j'avais écrit "flux".

@Marsup. Je crois comprendre que tu veux une preuve que c'est équivalent (donc entrainé par, l'autre sens étant facile) à Brouwer en dimension 2? Mais tu ne me l'avais pas dit que tu n'avais pas adhéré. Je suppose que pour tout $x: f(x)$ est un vecteur de norme 1, $f$ étant aussi continue (voir dérivable si besoin, ce n'est pas tellement ça qui compte dans mes intentions)

1/ Brouwer entraine que pour toute région de Jordan bordée par une frontière $C^1$ que j'appelle $F$, il existe $x\in F$ telle que $f(x) \perp$ la tangente à $F$ en $x$.

2/ La conclusion de (1) entraine qu'aucun flot associé à $f$ n'est relativement compact (ie borné)

Choisis un des 2 trucs à prouver, tu veux, comme ça on a échange dynamique. Je reviendrai le justifier.

marsup · May 2021

Ah ok, c'est un peu le théorème de la boule chevelue, https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_la_boule_chevelue que tu veux dire.

Sauf que évidemment, là, le champ de vecteurs se prolonge sur la boule qui est bordée par la sphère, donc admettons que ton champ de vecteurs s'annule devienne orthogonal sur à toute sphère.

Ça implique que le flot sort de toute boule depuis n'importe quel point de départ ? :-S

christophe c · May 2021

Snif, je savais bien que tu ferais le bon choix :-D . Tu acceptes le 1 et me demande le 2 donc. La je suis sur mon téléphone. Je vais essayer de te rédiger quelque chose quand je serai sur pc.

En gros si un flot induit est une courbe de Jordan CQFD. Mais il reste le cas où le flot reste borné mais ne reviens un jamais à un point où il est passé avant. Et la, il fait découper des epsilons.

marsup · May 2021

Il y a donc deux questions.

La première, c'est sur les sections du fibré trivial en sphère sur la sphère. Ça c'est des classes caractéristiques, en tous cas, de la topologie algébrique. Il faut probablement aller voir chez René Thom, je pense. Quand deux applications prennent la même valeur simultanément, ça s'appelle une "coïncidence". C'est les antécédents de la diagonale.

La deuxième, c'est sur la limite en $\pm\infty$ du flot des champs de vecteurs de norme 1. Ça ressemble plus à des théorèmes de Poincaré sur les systèmes dynamiques.

Les deux m'ont l'air très intéressantes. Je n'ai les idées claires sur aucune des deux. ::o

marsup · May 2021

Pour la première question sur les points fixes des champs de vecteurs sur les sphères, sans y mettre ma main à couper, j'ai l'impression que la réponse est écrite ici : https://mathoverflow.net/a/324018/12386

christophe c · May 2021

Attention (de mon téléphone). On est dans le plan. Ce est équivalent à Brouwer que dans le plan. Sinon comme remarqué par Marco, c'est faux.

Le 1 est facile car le champ de vecteurs est défini SUR TOUT LE DISQUE.

D'ici quelques heures j'allume mon pc, donc te donnerai une preuve de 1 et un sketch pour 2. Car finalement tu ne sembles pas avoir vraiment fait de choix entre le dispenser de 1 et me dispenser de 2

christophe c · May 2021

Voilà, je suis sur un pc, je vais pouvoir éliminer les flous (enfin certains) que tu as peut-être déjà de toi-même éradiqués.

1/ Soit $f$ envoyant chaque $x$ du domaine $D$ sur un vecteur de norme très petite fixe $e$.

2/ Je construis à partir de $g$ la fonction suivante: $g(x):=x+f(x)$ pour tous les $x$ tels que $x+f(x)\in D$. Il reste les autres:

3/ Je commence par partir de $x$ et parcourir la demi-droite issue de $x$ et dirigée par $f(x)$ jusqu'à taper dans la frontière $C$ en un point $h(x)$ du domaine $C$. Pour éviter de sortir de $D$, je regarde le sens opposé au projeté de $f(h(x))$ sur la tangente à $C$ en $h(x)$ et je continue sur $C$ jusqu'à avoir voyagé pendant une distance totale $e$ depuis que je suis parti de $x$. Note: si cette projection est un point $g$ n'est pas défini en $x$.

4/ $g$ contredit Brouwer sauf à ne pas être définie partout. Les endroits où $g$ n'est pas définie par la prescription suivante donne (1).

5/ Pour prouver (2) rigoureusement (absence de flots bornés), c'est plus chiant. Le seul cas où c'est pénible est quand un flot est injectif. Mais dans ce cas on "l'approxime" par une courbe de Jordan et une petite punition facile mais longue à écrire permet de constater que ça marche.

marsup · May 2021

Salut,

Finalement, j'ai trouvé ceci : https://mathoverflow.net/questions/324015/hairy-ball-theorem-for-odd-dimensional-spheres/324018#324018

Ça montre que pour $f,g:S^n \to S^n$, alors si $\forall p\in S^n$, on a $f(p) \neq g(p)$, alors $g$ est homotope à $-f$.

En effet, le graphe de $g$ dans $S^n \times S^n$ ne rencontre pas celui de $f$. On le rétracte par déformation sur le graphe de $-f$, car enlever un point à une sphère donne un ouvert contractile.

Du coup, toute fonction qui n'est pas homotope à $\pm id$ a au moins un point fixe et un "point anti-fixe $f(p) = -p$".

Donc en effet, tout champ de vecteurs sur $\R^n$ qui ne s'annule pas est au moins 2 fois orthogonal à toute sphère : une fois vers l'extérieur et une vers l'intérieur (au moins !)

marco · May 2021

Il y a un feuilletage $C^0$ de $\R^3$ par des cercles. La démonstration en a été donnée par E. Vogt.
Je ne sais pas si cela suffit pour construire un champ de vecteurs, car un vecteur, c'est plus qu'une direction de droite, et donc peut-être ça ne se recolle pas ?
J'ai aussi eu la réponse suivante (je me permets de la transmettre):
"Il y a la technique des pièges de Wilson qui permet de couper un paquet d'orbites infinies sans en créer de nouvelles. En répartissant correctement les pièges sur les orbites du champ constant on coupe tout le monde.
Dans la littérature c'est en dimension 3, fondé sur le contre-exemple C^1 de Paul Schweitzer à la conjecture de Seifert. Mais cette idée doit marcher en dimension plus grande."

christophe c · May 2021

Un grand merci Marco. Comme tu as contacté le FBI, le grassouillet petit Sherif que je suis mettra un peu de temps à digérer.

@marsup: le théorème de Brouwer tel quel donne ce que tu dis, pas seulement pour toute sphère, mais pour toute hypersurface "simple" (image continue det injective de la sphère) qui est $C^1$. En effet, comme je t'ai dit, quand on rencontre l'hypersurface de manière non perpendiculaire, on sait comment continuer en se baladant dessus. On n'hésite que quand la flèche se projette sur un point.

Je lirai ce que tu as écrit au dessus sur cette histoire d'homotopie. Merci à toi aussi.