Calcul d'une limite

tgbne
tgbne
dans Analyse
Bonjour, j'aimerais savoir si mon résultat est bon.

Soit (1/n) (somme de k de 0 à n-1) (f(k/n)g(k/n))

La limite vaut bien f(0)g(0) lorsque n tend vers l'infini ?
Merci.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Quand on reconnaît une somme de Riemann, on devrait trouver une intégrale, non ?
  • gebrane
    gebrane
    On ne connait rien sur f et g , donc on ne peut rien dire
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    Effectivement,

    il manque le début de l'énoncé.
    Sinon, si f est g sont constantes, la limite est bien $f(0)g(0)$, mais pas en général.

    Cordialement.
  • tgbne
    tgbne
    oui en effet, j'ai oublié de préciser il y a juste dans l'énoncé : "soit f et g des applications continues sur [0,1]".

    C'est tout ce que l'on a. Sinon, en effet, les "k/n" font penser à une somme de Riemann sur l'intervalle [0,1] mais pas d'autres précisions.
  • Poirot
    Poirot
    C'est exactement une somme de Riemann, donc le résultat est immédiat si tu sais ce que c'est.
  • gebrane
    gebrane
    J'ai une drôle d’impression quand j'ai lu
    il y a juste dans l'énoncé : "soit f et g des applications continues sur [0,1]".

    C'est tout ce que l'on a. ... mais pas d'autres précisions
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    Finalement, avec l'énoncé complet, cet exercice est une application immédiate du cours et aurait dû être résolu immédiatement. Au lieu d'inventer une réponse (sans doute par ressemblance avec un autre exercice).
    Comme quoi faire des exercices en grande quantité (*) est une très mauvaise idée quand il n'y a pas eu auparavant étude sérieuse et apprentissage du cours.

    Tgbne, apprends tes leçons, tu feras cet exercice et tu sauras que c'est juste sans avoir besoin de demander.

    Cordialement.

    (*) conseil souvent donné aux étudiants, en oubliant le préalable.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je me demande bien l'intérêt pédagogique de cet exercice. :-D
  • gebrane
    gebrane
    FDP l intérêt pédagogique est de procéder comme ça :-D ,

    Utilisons $\;k/n\rightarrow x,\;\;1/n \to dx\;,\;$ alors
    $L=\int_{0}^{1} {f(x)g(x)}\,dx$

    Ca te rappelle https://math.stackexchange.com/questions/4138346/using-definite-integral-to-find-the-limit ?
    Le 😄 Farceur


  • tgbne
    tgbne
    En fait, je viens de me rendre que c'est assez trivial en effet. Le terme sommé est de la forme f(k/n)g(k/n) avec f et g des applications continues sur [0,1]. Il revient au même d'écrire :

    f(k/n)g(k/n) = f(0+k(1-0)/n)g(0+k(1-0)/n)

    En faisant tendre n vers l'infini on y reconnaît une somme de Riemann associée à la méthodes des rectangles à gauche et donc, la limite (c'est la réponse de gebrane) :

    (intégrale de 0 à 1) f(x)g(x) dx

    Est-ce bon ? Je vous remercie.
  • math2
    math2
    oui c'est juste
  • gebrane
    gebrane
    Ibni , peux-tu m'aider si on avait à calculer la limite de $(1/n) (somme de k de p à qn) f(k/n) avec f continue sur R et p,q des entiers fixés p <q
    Merci d'avance
    Le 😄 Farceur


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