Une fonction développable en série entière
Bonjour tout le monde,
Connaissez-vous un moyen de montrer que la fonction $\dfrac{x}{\sinh(x)}$ est développable en série entière en 0 et que son rayon de convergence est $\pi$ sans passer par l'analyse complexe (en restant dans le programme de prépa par exemple)?
Merci d'avance !
Connaissez-vous un moyen de montrer que la fonction $\dfrac{x}{\sinh(x)}$ est développable en série entière en 0 et que son rayon de convergence est $\pi$ sans passer par l'analyse complexe (en restant dans le programme de prépa par exemple)?
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Réponses
Si on note $R$ le rayon de convergence de la fonction étudiée $f$, alors pour tout $z\in\C$ avec $|z|< R$, on a $z = f(z) \sinh(z)$. Cette dernière égalité est fausse en $z=i\pi$, donc nécessairement $R\leq \pi$.
@Namiswan : Normalement, la formule que tu souhaites utiliser est largement accessible avec le programme de classe préparatoire (il y a des complexes en cpge quand même ).
"Remarque : Si $S$ s'annule, on peut montrer que le rayon de convergence du développement en série entière de $1/S$ est égal au plus petit des modules des zéros de $S$. N'essayez pas de prouver ce résultat, il ne s'obtient de manière naturelle que dans le cadre général des fonctions analytiques."
En résumé, il indique qu'il faut faire comme Namiswan le propose dans le cas général (ce qui ne veut pas dire qu'il n'y a pas une autre méthode, mais elle sera surement plus difficile à mettre en place ou particulièrement adapté au cas présent).
tu pars du produit infini eulérien qui est connu des élèves de prépa :
$\frac{sin(\pi.x)}{\pi.x}=(1 - x^2)(1 - \frac{x^2}{2^2})(1- \frac{x^2}{3^2}).......(1 - \frac{x^2}{n^2}).........$ pour - 1 < x < 1
après dérivation des logarithmes on obtient un développement rationnel de signe alterné :
$\frac{\pi}{2xsin(\pi.x)} = \frac{1}{x} + 2x[\frac{1}{1 - x^2} - \frac{1}{2^2 - x^2} + \frac{1}{3^2 - x^2} - ........]$
pour - 1 < x < 1 tu peux développer en série polynomiale avec des monômes de degré pair :
$\frac{\pi.x}{2sin(\pi.x)} = Z_a(0) + x^2Z_a(2) + x^4Z_a(4) +.......+ x^{2n}Z_a(2n) + .....$
avec $Z_a(2n) = 1 - \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} - ........... +(-1)^{p-1}\frac{1}{p^{2n}} +.....$
série alternée de Riemann qui s'exprime avec $\pi$ puissance d'exposant 2n et avec les nombres de Bernoulli
si x est multipliée par i imaginaire pur et divisé par $\pi$ tu obtiens un développement de $\frac{x}{shx}$ valable quelle que soit x
$\frac{x}{sh(x)} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{7}{360}x^4 - \frac{31}{15120}x^6 + ........... + \frac{x^{2n}}{(2n-1)!}A_{2n} + .......$
$A_{2n}$ est un coefficient qui dépend directement des nombres de Bernoulli
cordialement
Après, le fait que le produit Eulerien soit bien connu en prepa, je suis pas convaincu, bien que je crois qu'on peut effectivement faire. (il faut également justifier les étapes suivantes du raisonnement, il y a un peu de travail)
On démontre d'abord que pour $x>0$ la suite $u_n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{2x^2}{x^2+k^2}=2x\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin((2n+1)t)}{\sin t}e^{-2xt}dt$ a pour limite $\dfrac{\pi x}{\tanh(\pi x)}$.
Indication : $u_n=2x\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin((2n+1)t)}{\sin t}g(t)dt$ avec $g(t)=\dfrac{e^{-2xt}+e^{2x(t-\pi)}}{1-e^{-2x\pi}}$
On en déduit $\dfrac{\pi x}{\tanh(\pi x)}=1+2\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n}}{k^{2n}}=1+2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\zeta(2n)x^{2n}$ dont le rayon de convergence vaut 1.
Ce qui s'écrit encore pour $|t|<\pi$ : $\dfrac{t}{\tanh t}=1+2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\zeta(2n)\dfrac{t^{2n}}{\pi^{2n}}$.
Ensuite on utilise $\dfrac1{\tanh (t/2)}-\dfrac1{\tanh t}=\dfrac{(e^{t/2}+e^{-t/2})^2}{e^t-e^{-t}}-\dfrac{e^{t}+e^{-t}}{e^t-e^{-t}}=\dfrac1{\sinh t}$ d'où l'on tire : $\dfrac{t}{\sinh t}=1+2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\left(\dfrac2{2^n}-1\right)\zeta(2n)\dfrac{t^{2n}}{\pi^{2n}}$ pour $|t|<\pi$
ou encore $\dfrac{t}{\sinh t}=1-2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\zeta_a(2n)\dfrac{t^{2n}}{\pi^{2n}}$ où $\zeta_a$ est la fonction $\zeta$ alternée.
Mais je prends vraiment conscience qu'étudier les séries entières sans la variable complexe comme c'est fait en prépa, c'est vraiment se mettre des bâtons dans les roues...
PS : en plus on connait les $\zeta(2n)$ :-)
la fonction êta de Dirichlet est l'autre nom de la fonction zêta alternée, c'est la même fonction.
le programme de prépa est trop chargé pour qu'on puisse y introduire les fonctions de variable complexe (à l'exception des développements en série entière de $\dfrac1{1-z}$ et $e^z$).
On a même dû retirer les séries de Fourier pour pouvoir introduire un peu de probabilités.