Limite d'une fonction

Joli question, je n'ai pas trop réfléchi. Une idée on a
$\lim_{n\to \infty} f(\frac{ n}{2^k}) =y$, pour tout $k$, mais $\{ \frac{n}{2^k}\}$ est dense dans $[0,+\infty[$

Ajout une remarque, si de plus $f$ était uniformément continue ton raisonnement marche à merveille, mais je ne vois pas pour le moment comment le sauver avec seulement la continuité à droite.

Bon, encore une question qui va rester sans réponse

Bonjour,
Notons $D = \{n \,2^{-k}\mid(n,k)\in\Bbb N^2\}$. Il n'est pas vrai que $\big(\forall k\in\Bbb N, f(n\, 2^{-k})\underset{n\to\infty}\longrightarrow \ell \big) \Rightarrow f(x)\underset{\substack{x\to\infty\\ x\in D}}\longrightarrow \ell$. Mais j'ai l'impression que, gebrane et zazou, vous l'avez implicitement admis.

En fait, ma première tentative de contre-exemple fonctionnait, donc je vais la reprendre en la justifiant.

Soient $\chi :\Bbb R\to \Bbb R$ la fonction en pointe $$x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1-x & \text{si } x \in [0,1]\\
1+x & \text{si } x \in [-1,0[\\
0 & \text{si } |x|>1 \end{array}\right.
$$ et $$\displaystyle f: x\mapsto \sum _{n=0}^\infty \chi\Big( 4^n \Big[ x-\Big(\frac32\Big)^n \Big] \Big).$$
Alors $f$ est continue, son support est $\bigcup\limits_{n=0}^\infty [ (\frac32)^n -4^{-n}, (\frac32)^n +4^{-n} ]$ et elle ne possède pas de limite en $+\infty$.
Soit $r\in\Bbb N^*$. Montrons que la suite $(f(\frac{k}r))_{k\in\Bbb N}$ converge néanmoins vers 0.
On a pour tout $k\in\Bbb N$ et pour tout $n>v_2(r)$ : $$\Big|\frac{k}r - \Big(\frac32\Big)^n\Big| = \frac{|2^n k -3^n r|}{2^n r} \geqslant \frac1{2^n r}$$ car $2^n k -3^n r$ est un entier non nul.
De plus, $4^{-n} = o(\frac1{2^n r})$, donc $\exists n_0\in\Bbb N, \forall n>n_0,4^{-n} < \frac1{2^n r}$. Posons $n_1 = \max(v_2(r),n_0)$. Soit $k_0$ tel que : $\frac{k_0}{r} > \max\limits_{n \in0,n_1} ( (\frac32)^n +4^{-n} ) $. Alors : $$\forall k>k_0, \forall n\in\Bbb N,\qquad \Big|\frac{k}r - \Big(\frac32\Big)^n\Big| > 4^{-n}.$$ Ce qui veut dire que $\frac{k}r$ n'appartient pas au support de $f$. Donc $(f(\frac{k}r))_{k\in\Bbb N}$ est nulle à partir d'un certain rang.

Alors je me suis planté, je ne sais plus comment je peux me regarder dans un miroir maintenant (td). Le contre exemple de Calli me donne des vertiges. Raro ou Zazou ou raoul-s tu le valides?

@Calli: Il me faut un peu de temps pour digérer ton exemple.

Je suis un peu surpris parce que si on regarde par exemple ce livre page 58-59, on a
$$\lim_{t\in D, t\uparrow\infty} X_t = X_\infty$$
et l'auteur écrit ensuite que la continuité à droite permet de conclure.
$$\lim_{t\uparrow\infty} X_t = X_\infty$$
Ce qui me semblait pouvoir être prouvé comme je l'ai fait. Sais-tu où est le problème dans ma preuve sur le forum de probabilités?

Il faut donc peut-être raisonner directement sur le nombre de montées (qui doit être le même pour le processus continu) ?

@Calli: Merci beaucoup, je suis rassuré du coup. Je suis parti de l'énoncé de proba où on a directement $\lim_{t\in D, t\uparrow\infty}X_t=Y_\infty$ dans la preuve qui posait problème. Je pense que l'énoncé a été mal traduit en termes d'analyse.

EDIT: J'ai reformulé.

La question portait sur la preuve du Théorème 3.4.1. a) page 35 du cours indiqué par l'auteur. C'est de là que je suis parti.

En tout cas, merci pour le contre-exemple, j'aurai appris que 1) était fausse.

Pour moi, le problème n'est pas dans ta reformulation mais dans la preuve du pdf qui est fausse.

Bonjour,on attend.