Question d'analyse réelle

gebrane · May 2021

Bonjour

Soit $f:\,\displaystyle [0,+\infty[ \to \R$ une fonction dérivable vérifiant :
1- $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) dx $ est convergente,
2- $\displaystyle \exists M>0,\ |f'(x)[\le M,\quad \forall x\ge 0$.

Montrer que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=0$

Chaurien · May 2021

C'est même vrai si la fonction est seulement supposée uniformément continue, et même à valeurs complexes. Raisonnement epsilonesque par l'absurde, je veux dire : en supposant la négation de la conclusion souhaitée, pour aboutir à une contradiction.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Chaurien · May 2021

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1839202,1840338#msg-1840338

gebrane · May 2021

Une mémoire d’éléphant (tu)

Namiswan · May 2021

Pour tout $\delta>0$,

D'une part $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\int _{n\delta}^{(n+1)\delta} f(x) dx=0$ car l'intégrale de $f$ converge.

D'autre part, pour $n_x=[x/\delta]$, $\displaystyle\left|f(x)-\frac{1}{\delta}\int_{n_x\delta}^{(n_x+1)\delta} f(x)dx\right|\leq M\delta$

Donc $ \limsup_{x\to +\infty} |f(x)|\leq M\delta$, et ce pour tout $\delta$

Edit: je suis lent...

Chaurien · May 2021

Il y a une nuance avec l'énoncé initial de Gebrane, qui suppose seulement que l'intégrale est convergente, pas forcément absolument. Ça marche à peu près pareil, on peut voir ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,893419,893700#msg-893700

En fait ce n'est pas si « difficile », c'est comme pour démontrer le théorème de Heine : on énonce soigneusement les propriétés en question et/ou leur négation, dûment quantifiées (où l'on voit l'utilité de la logique, du moins élémentaire), et l'on fait travailler ces assertions les unes sur les autres.

Ce n'est pas que j'aie une mémoire d'éléphant, mais j'ai une collection d'exercices de colles, classés thématiquement, et quand je peux j'indique les références. Je fais ça depuis que je suis retraité, auparavant je n'avais pas le temps. Et c'est plus facile de retrouver ça sur le disque dur que dans le fouillis des papiers.

gebrane · May 2021

Je joins la source https://scholar.rose-hulman.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1065&context=rhumj

Namiswan · May 2021

Je n'ai pas utilisé l'absolue convergence: j'ai dit que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\int _{0}^{n\delta} f(x) dx$ existe dans $\R$ donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\int _{n\delta}^{(n+1)\delta} f(x) dx=0$

gebrane · May 2021

Namiswan preuve vue autrement

Pour tout $\delta>0$,le fait que $\int_0^\infty f(x)dx=\sum\limits_{k=0}^\infty\int\limits_{k\delta}^{(k+1)\delta}f(x)dx$ converge implique $\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{k\delta}^{(k+1)\delta}f(x)dx=0$. f étant de drivée bornée donc Lipschitzienne donc uniformément continue. Soit $\varepsilon>0$. Soit $\delta>0$tel que $|x-y|<2\delta$ implique $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/2$. Soit $N>0$ tel que si $k\geq N$ implique $\left|\int\limits_{k\delta}^{(k+1)\delta}f(x)dx\right|<\frac{\varepsilon\delta}{2}$. Soit $x_0\geq (N+1)\delta$. alors il existe $k\geq N$ tel que $x_0$ dans $[k\delta,(k+1)\delta]$. Par consequent $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon/2$pour tout $x\in[k\delta,(k+1)\delta]$, et ceci implique $\left|\int\limits_{k\delta}^{(k+1)\delta}f(x)dx\right|\geq \delta(|f(x_0)|-\varepsilon/2)$.
puisque $\left|\int\limits_{k\delta}^{(k+1)\delta}f(x)dx\right|<\frac{\varepsilon\delta}{2}$, ceci implique $|f(x_0)|<\varepsilon$. donc $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$.

gebrane · May 2021

Maintenant si $f\in L^1 [0,\infty[$ et on suppose que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)$ existe, a-t-on $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=0$ ?

Gon · May 2021

Bonjour.
Je suppose que $L^{1}([0,+\infty[)$ signifie que la fonction est dans l'ensemble des fonctions intégrables càd absolument convergente.
Si oui, alors la proposition est vraie.
Il suffit de faire une preuve par l'absurde en supposant que la limite $l$ de $f$ n'est pas nulle en $+\infty$. Quitte à prendre $l>0$ ou $l<0$, prenons $l>0$.
On a $f(x) \underset{x \rightarrow +\infty}{\sim} l$ et $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} l \, \mathrm{d}x$ diverge. On a montré une contardiction.

christophe c · May 2021

Pour les gens qui n'aiment pas les symboles:

soient $a,b$ avec $a<b$ que vous pouvez supposer supergrands. Supposons $\forall x\in [a,b] : f(x)$ superproche de $f(a)$ et loin de $0$. Alors $a$ est superproche$^1$ de $b$ ou sinon $\int_a^b f$ est loin $^2$ de $0$.

1/ Pas de continuité uniforme

2/ Pas de convergence de l'intégrale.

gebrane · May 2021

Gon et si ta limite l est infinie

Gon · May 2021

Bonjour
Il suffit d'une minoration pour mettre en défaut la convergence.
Sauf erreur, si la limite est $+\infty$ on met en défaut la convergence et si $-\infty$, on met en défaut l'intégrabilité.

gebrane · May 2021

Bonjour cc, moi je préfère les symboles. Peux-tu me traduire en mathématiques conventionnelles ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2248028,2248980#msg-2248980

jandri · May 2021

Je n'ai pas de référence précise mais l'exercice proposé au début du fil par gebrane a été donné à une de mes élèves à l'oral d'Ulm en 2004.

L'extension de Chaurien à une fonction uniformément continue à valeurs complexes se démontre encore plus rapidement (sans raisonnement par l'absurde) en écrivant :

$\forall\varepsilon>0\;\exists\delta,|x-t|\leq \delta\Longrightarrow|f(x)-f(t)|\leq\dfrac{\varepsilon}2$.

$\delta f(x)=\displaystyle\int_x^{x+\delta}f(x)dt=\int_x^{x+\delta}f(t)dt+\int_x^{x+\delta}(f(x)-f(t))dt$ d'où

$|f(x)|\leq\dfrac1{\delta}\left|\displaystyle\int_x^{x+\delta}f(t)dt\right|+\dfrac1{\delta}\displaystyle\int_x^{x+\delta}\dfrac{\varepsilon}2\; dt=\dfrac1{\delta}\left|\displaystyle\int_x^{x+\delta}f(t)dt\right|+\dfrac{\varepsilon}2\leq\varepsilon$ pour $x\geq x_0$ puisque $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\int_x^{x+\delta}f(t)dt=0$.