Convergence d’une suite

etanche
etanche
dans Analyse
Bonjour
Si $\ \displaystyle
x(n) = \sum_{k=1}^{n-1}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^n.\ $ Est-ce que $\ \dfrac{x(n)}{n}\ $ converge ?
Merci.

Réponses

  • Gon
    Gon
    Bonsoir

    Sauf erreur, on peut trouver un équivalent de $x(n)$ non? en utilisant les relations séries-intégrales
    Edit Mauvaise idée
  • Quentino37
    Quentino37
    $$x(n)=\sum_{k=1}^{n-1}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n}
    $$ On a $$\forall (k, n) \in \mathbb{N^{2,*}},\qquad 0<\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n}<1.
    $$ Donc $$\forall n \in \mathbb{N^{*}},\qquad 0<x(n)<n-1.
    $$ Et finalement
    $$\forall n \in \mathbb{N^{*}},\qquad 0<\frac{x(n)}{n}<\frac{n}{n-1}.
    $$ Or quand $n$ tend vers l'infini $\dfrac{n}{n-1}$ tend vers $1$

    D'où la convergence de ${\dfrac{x(n)}{n}}$
    Et voila c'est prouvé ?
    Je suis donc je pense 
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Et alors Quentin, $\frac{x(n)}n$ tend vers combien ? 0 ou 1 ? Tu vois le problème ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Un peu comme la suite $u_n=\frac{1+(-1)^n}2$ qui est comprise entre $0$ et $1$ ?
  • Quentino37
    Quentino37
    ne me donnez pas la réponse je vais essayer de trouver :)

    PS: mon idée est de montrer que soit la suite est strictement croissante, soit elle est décroissante :)
    Je suis donc je pense 
  • gebrane
    gebrane
    Quentino37 c'est promis, on te la laisse
    Indication ta limite est $\int_0^1 e^{-1/u} \ du $
    Le 😄 Farceur


  • Quentino37
    Quentino37
    On à $\ \displaystyle \frac{x(n)}{n} = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^n$

    et $\ \displaystyle \frac{x(n+1)}{n+1} -\frac{x(n)}{n} =\frac{1}{n+1}\Big(\frac{n}{n+1}\Big)^{n+1}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n+1}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n+1}-\frac{1}{n}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n}$

    Et il faudrait prouver que ça tend vers 0.

    $\displaystyle \Big(\frac{n}{n+1}\Big)^{n+1}=\frac{1}{\Big(\frac{n+1}{n}\Big)^{n+1}}$

    et quand n tend vers l'infini $\displaystyle \Big(\frac{n+1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}$ tend vers $\frac{1}{e}$

    Donc on veut finalement prouver que quand n tend vers l'infini $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n}-\frac{1}{n+1}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n+1}$ tend vers $0$

    Je ne sais pas si c'est une bonne piste pour prouver que $\displaystyle \frac{x(n)}{n}$ converge:)

    PS: est-ce que vous trouvez que je m'améliore en Latex? Au début j'utilisait ça et maintenant j'en est même plus besoin :)
    Je suis donc je pense 
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Il me semble avoir fait que $x(n)/n$ décroit ou croit.... bref je ne sais plus.

    Mais (vu @gebrane) on compare $e^{-\frac{n}{k}}$ avec $(k/(1 + k))^n$

    (par exemple considérer la différence comme une fonction de k et voir que c'est borné).

    Il vient en divisant par n que $x(n)/n$ a même limite que la somme de Riemann liée à l'intégrale $\int_0^1 exp(-1/u) du.$ D'où la cv et l'expression de la limite.
     
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonsoir

    Je signale que l'intégrale numérique $\int_0^1exp(-\frac{1}{x})dx$ est bien convergente

    la fonction intégrande est monotone croissante et prend la valeur 0 sur la borne inférieure et la valeur 1/e sur la borne supérieure

    grâce à la fonction "exponentielle intégrale" Ei(x) on peut déterminer sa valeur
    en fonction des constantes classiques : e la base des logarithmes népériens et E la constante de Gompertz :

    $\int_0^1exp(-\frac{1}{x})dx = \frac{1}{e} + Ei(-1) = \frac{1 - E}{e} = 0,1484955069...$

    Cordialement
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