Convergence d’une suite
Réponses
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Bonsoir
Sauf erreur, on peut trouver un équivalent de $x(n)$ non? en utilisant les relations séries-intégrales
Edit Mauvaise idée -
$$x(n)=\sum_{k=1}^{n-1}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n}
$$ On a $$\forall (k, n) \in \mathbb{N^{2,*}},\qquad 0<\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n}<1.
$$ Donc $$\forall n \in \mathbb{N^{*}},\qquad 0<x(n)<n-1.
$$ Et finalement
$$\forall n \in \mathbb{N^{*}},\qquad 0<\frac{x(n)}{n}<\frac{n}{n-1}.
$$ Or quand $n$ tend vers l'infini $\dfrac{n}{n-1}$ tend vers $1$
D'où la convergence de ${\dfrac{x(n)}{n}}$
Et voila c'est prouvé ?Je suis donc je pense -
Bonjour,
Et alors Quentin, $\frac{x(n)}n$ tend vers combien ? 0 ou 1 ? Tu vois le problème ? -
Un peu comme la suite $u_n=\frac{1+(-1)^n}2$ qui est comprise entre $0$ et $1$ ?
-
ne me donnez pas la réponse je vais essayer de trouver
PS: mon idée est de montrer que soit la suite est strictement croissante, soit elle est décroissanteJe suis donc je pense -
Quentino37 c'est promis, on te la laisse
Indication ta limite est $\int_0^1 e^{-1/u} \ du $Le 😄 Farceur -
On à $\ \displaystyle \frac{x(n)}{n} = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^n$
et $\ \displaystyle \frac{x(n+1)}{n+1} -\frac{x(n)}{n} =\frac{1}{n+1}\Big(\frac{n}{n+1}\Big)^{n+1}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n+1}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n+1}-\frac{1}{n}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n}$
Et il faudrait prouver que ça tend vers 0.
$\displaystyle \Big(\frac{n}{n+1}\Big)^{n+1}=\frac{1}{\Big(\frac{n+1}{n}\Big)^{n+1}}$
et quand n tend vers l'infini $\displaystyle \Big(\frac{n+1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}$ tend vers $\frac{1}{e}$
Donc on veut finalement prouver que quand n tend vers l'infini $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n}-\frac{1}{n+1}\Big(\frac{k}{k+1}\Big)^{n+1}$ tend vers $0$
Je ne sais pas si c'est une bonne piste pour prouver que $\displaystyle \frac{x(n)}{n}$ converge:)
PS: est-ce que vous trouvez que je m'améliore en Latex? Au début j'utilisait ça et maintenant j'en est même plus besoinJe suis donc je pense -
Bonjour
Il me semble avoir fait que $x(n)/n$ décroit ou croit.... bref je ne sais plus.
Mais (vu @gebrane) on compare $e^{-\frac{n}{k}}$ avec $(k/(1 + k))^n$
(par exemple considérer la différence comme une fonction de k et voir que c'est borné).
Il vient en divisant par n que $x(n)/n$ a même limite que la somme de Riemann liée à l'intégrale $\int_0^1 exp(-1/u) du.$ D'où la cv et l'expression de la limite. -
Bonsoir
Je signale que l'intégrale numérique $\int_0^1exp(-\frac{1}{x})dx$ est bien convergente
la fonction intégrande est monotone croissante et prend la valeur 0 sur la borne inférieure et la valeur 1/e sur la borne supérieure
grâce à la fonction "exponentielle intégrale" Ei(x) on peut déterminer sa valeur
en fonction des constantes classiques : e la base des logarithmes népériens et E la constante de Gompertz :
$\int_0^1exp(-\frac{1}{x})dx = \frac{1}{e} + Ei(-1) = \frac{1 - E}{e} = 0,1484955069...$
Cordialement
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Bonjour!
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