Intervalles et convexité
Bonsoir
Dans mon livre je vois le passage suivant :
Il est clair que tout intervalle de $\R$ est convexe.
Ce n'est pas très clair pour moi. Je n'arrive pas à le démontrer.
Les résultats suivant dont je dispose.
1) Les intervalles de $\R$ sont les parties de $\R$ vérifiant $\forall x \in I ,\ \forall y \in I, \ [x,y] \subset I$.
2) Une partie $C$ est convexe si $\forall (c_1,c_2) \in C^2, \ \forall \lambda \in [0,1] ,\ \lambda c_1 + (1-\lambda)c_2 \in C$.
Dans mon livre je vois le passage suivant :
Il est clair que tout intervalle de $\R$ est convexe.
Ce n'est pas très clair pour moi. Je n'arrive pas à le démontrer.
Les résultats suivant dont je dispose.
1) Les intervalles de $\R$ sont les parties de $\R$ vérifiant $\forall x \in I ,\ \forall y \in I, \ [x,y] \subset I$.
2) Une partie $C$ est convexe si $\forall (c_1,c_2) \in C^2, \ \forall \lambda \in [0,1] ,\ \lambda c_1 + (1-\lambda)c_2 \in C$.
Réponses
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C’est assez évident et immédiat en fait exactement avec tes rappels. Un ensemble est convexe si quand je prends deux points dedans, le segment qui relie ces deux points reste dans l’ensemble. C’est exactement ce que dit la définition d’un intervalle. Maintenant si ce n’est pas clair, je ne vois pas trop quoi te dire à part de le rédiger. Mais ça serait une démo un peu ridicule mais bon…
-
Oui mais je veux le démontrer.
Soit $I$ un intervalle de $\R$. Soient $(x,y) \in I^2$ et soit $\lambda \in [0,1]$.
Comme $0 \leq \lambda \leq 1$ et $0 \leq 1-\lambda \leq 1$.
Je n'arrive pas à montrer que $\lambda x+(1-\lambda)y \in I$. -
En supposant $x<y$ n'est-il pas évident que $x\leq\lambda x+(1-\lambda)y\leq y$ ?
-
Tu fais 3 cas :
1) Si x = y
...
2) Si x < y
...
3) Si x > y
... -
Bonjour Oshine.
Ce n'est pas à prouver, c'est toujours vrai si $x, y \in I$, le paramètre $\lambda$, compris entre 0 et 1, sert à spécifier à quel endroit du segment xy se trouve le point voulu, qui par définition appartient au segment xy, qui par définition appartient à I, puisque x et y appartiennent à I.
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
On peut tout de même le prouver :
1) Si $x = y$
alors $\lambda x+(1-\lambda)y = \lambda x+(1-\lambda)x = x$
2) Si $x < y$
alors $\lambda x+(1-\lambda)x \leq \lambda x+(1-\lambda)y \leq \lambda y+(1-\lambda)y$
$x \leq \lambda x+(1-\lambda)y \leq y$
3) Si $x > y$
alors $\lambda y+(1-\lambda)y \leq \lambda x+(1-\lambda)y \leq \lambda x+(1-\lambda)x$
$y \leq \lambda x+(1-\lambda)y \leq x$
Dans les trois cas,$ \lambda x+(1-\lambda)y$ appartient à $I$. -
Dommage de lui donner la solution qui était à sa portée et très simple. Encore un topic ou en très peu d’interventions, tout est déjà dit mais Oshine n’a pas progressé d’un poil. C’était une preuve de collège qui repose sur des inégalités. Ça aurait été bien, en tant que prof en collège, qu’il y arrive tout seul, dommage.
@OS : tu peux aussi voir que tout point du segment est le barycentre de ses extrémités affectés de coefficients particuliers vu que tu traites cela en ce moment. Et quand tu dis progresser a force de lire des corrigés de docsolus, tant que tu feras ce genre de topic, je ne te croirais pas. Tu ne progresses pas et je suis à chaque fois surpris de ce que tu sembles découvrir. -
Francois Viète a écrit:Me laissez-vous, Monsieur, quelque temps de réflexion?
-
@OS : petite story perso : pour ma part, ça m’arrive de lire des Francinou-Gianella (oraux X ENS) le soir avant de dormir, un peu comme des romans. Je lis passivement, je cherche à comprendre chaque étape et m’émerveille devant les idées que des gens hautement plus brillant que moi sont capables de trouver. Mais une fois que j’ai terminé, je ne sais pas refaire l’exo (encore moins le lendemain) et je ne sais pas non plus en faire d’autres, pourtant très similaires en apparence. Ça ne marche pas parce que je n’ai pas du tout compris pourquoi l’auteur prenait telle ou telle initiative, pourquoi il faisait les choses…je ne comprends pas la trame de l’histoire, le fil conducteur. Je ne fais que de la vérification passive comme un prof devant une copie ou un comité de chercheur devant un papier à valider. Donc évidemment, je suis à la ramasse et je le sais car je ne fais rien pour devenir proactif et choper cette intuition et ces idées. Tu es pareil devant tes corrigés. Si tu ne sais pas faire une question et que tu comprends la solution, demande toi pourquoi tu ne l’as pas trouvée parce que tu n’as pas du tout visualisé les étapes du chemin partant des hypothèses et menant au résultat. Parce qu’au final, tu lis et comprends des corrigés de questions que je trouve ultra délicates, pour ensuite venir poser des questions limite ridicules.
Donc je ne serai jamais normalien mais c’est pas grave, ce n’est plus mon objectif de vie maintenant, j’en ai d’autres plus à ma portée et plus pertinents et je l’assume donc je m’en fous de ne pas réussir ces exos. Et j’ai la RMS pour ne pas m’encrouter mais idem, c’est récréatif. -
@OShine la convexité est une notion qui devrait être très intuitive. On arrive vraiment bien à la visualiser. Il serait dommage que tu t'accroches à des calculs formels sans visualiser quoi que ce soit.
Alexique a dit comment tu devrais "voir" la convexité http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2251778,2251794#msg-2251794
À partir de là est-ce que tu arrives sans aucun calcul à déterminer :
- si les boules de $\R^2$ sont convexes ?
- si une boule privée de son centre est convexe ? -
@Zgrb
Merci.
@Alexique
Oui c'est vrai j'aurais du trouver seul.
Le problème de Centrale PC 2019, c'est uniquement la dernière partie qui est d'un niveau très élevé. Les autres parties sont très accessibles et proches du cours. J'ai trouvé la majorité des questions. Mais il est vrai que cette dernière partie est ardue et que je n'ai réussi aucune des questions.
@Bd2017
Merci pour l'exercice. Il n'est pas convexe car si $x>3$, on trouve $2x-1-1<x-3+2$ donc $x<1$. Finalement $x<1$ et $x>3$. Or $[1/2,4]$ n'est pas inclus dans $]-\infty,1[ \cup ]3,+\infty[$.
@Gebrane
Je suis déjà bloqué dans la preuve du résultat suivant :
Les convexes de $\R$ sont les intervalles de $\R$.
La caractérisation de la borne supérieure donne l'existence d'un $c^{+}$ tel que $c < c^{+} \leq b$
Je ne comprends pas pourquoi $c^{+} \in I \cap ]c,b[$. -
Bravo à bd dont le petit exo qu’on peut donner en classe de 2nd (résoudre l’inéquation) t’a encore fait écrire des grosses conneries. Et tu devrais démontrer pour les boules de raoul sont convexes ou non. Donc central, les kholles etc… oui oui bien sûr Oshine, tu es crédible.
-
@Os concernant mon exercice. Tu aurais dû faire comme au collège. Tu résous pour trouver S=] -5; 7/3[ et donc la réponse c'est que S est convexe.
P.S pas vu le message d'Alexique.... Evidemment quand on parle de boules convexes pour @Os, je veux bien mais depuis X temps j'ai dit qu'@Os doit d'abord savoir faire tous les exo de collège- terminale. -
Heureusement d'ailleurs B-)-bd2017 a écrit:
Concernant ma question ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2251778,2251978#msg-2251978 ce n'est pas un calcul à faire c'est juste pour OShine une façon de tester sa capacité à "voir les objets" mathématiques. S'il n'arrive pas à répondre à ces questions facilement alors je ne vois pas trop l'intérêt pour lui de se lancer dans des calculs concernant la convexité... -
Soit $E=\R^2$ muni de sa norme euclidienne et $(a,r) \in \R^2 \times \R^{+}$
Notons $B(x,a)= \{ x \in \R^2 \ | \ ||x-a || \leq r \}$ la boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$.
Soient $(c_1,c_2) \in \R^2$ et $\lambda \in [0,1]$. On a $\lambda c_1 + (1- \lambda)c_2= \lambda (c_1-a)+(1- \lambda) (c_2-a)$
D'après l'inégalité triangulaire $||\lambda c_1 + (1- \lambda)c_2|| \leq ||\lambda (c_1-a)|| + ||(1- \lambda) (c_2-a)|| \\ \leq \lambda ||c_1-a|| + (1-\lambda) ||c_2-a|| \leq \lambda r+(1- \lambda) r = r$
Donc $\lambda c_1 + (1- \lambda)c_2 \in B$.
Pour la boule ouverte le résultat est identique.
Pour la boule privée de son centre, elle n'est pas convexe. Un dessin suffit à s'en convaincre. Mais je ne sais pas le démontrer rigoureusement. -
Et on attend toujours l’inéquation bâclée…
-
Bonsoir.
Ôtez-moi un doute : une boule (qu'elle soit ouverte ou fermée), elle est bien forcément remplie ?
Merci d'avance.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
-
@Raouls
Je prends un segment qui passe par le centre, il ne sera pas inclus dans la boule.
Résolvons $|2x-1| -1 <|x-3|+2$
Si $x>3$ alors $2x-1-1<x-3+2$ soit $x >1$
Si $1/2 < x < 3$ alors $2x-1-1<3-x+2$ soit $2x-2<5-x$ et $x< 7/3$
Si $x< 1/2$ alors $1-2x-1<3-x+2$ et donc $-2x<5-x$ soit $x>-5$
Donc $S=]1, + \infty [ \cup ]- \infty,7/3[ \cup ]-5,+\infty[ $ finalement $\boxed{S=]1,\dfrac{7}{3}[}$ qui est un intervalle de $\R$ donc un convexe. -
Je me permets de quote car la c'est compliqué.OShine a écrit:Résolvons $|2x-1| -1 <|x-3|+2$
a) Si $x>0$ alors $2x-1-1<x-3+2$ soit $x >1$
b) Si $1/2 < x < 3$ alors $2x-1-1<3-x+2$ soit $2x-2<5-x$ et $x< 7/3$
c) Si $x< 1/2$ alors $1-2x-1<3-x+2$ et donc $-2x<5-x$ soit $x>-5$
d) Donc $S=]1, + \infty [ \cup ]- \infty,7/3[ \cup ]-5,+\infty[ $ finalement $\boxed{S=]1,\dfrac{7}{3}[}$
Hormis la coquille du a) avec le 0 au lieu du 3, je crois comprendre que pour toi $x>3$ et $x>1$ implique $x \in ]1, + \infty [$ . C'est faux.
De même, $1/2 < x < 3$ et $x< 7/3$ n'implique pas $x \in ]- \infty,7/3[$
Même erreur pour le c).
Puis pour toi la solution est l'union de tous ces intervalles, mais tu nous en donne l'intersection !!
Relis toi s'il te plait, c'est un exercice classique de secondaire, et ta résolution est truffée d'inepties !!!! -
Ok merci.
Si $x>3$ alors $x<1$ donc $x \in \emptyset$
Si $1/2<x<3$ alors $x<7/3$ donc $x \in ]1/2,7/3[$.
Si $x<1/2$ alors $x \in ]-5,1/2[$.
Donc $\boxed{S=\emptyset \cup ]1/2,7/3[ \cup ]-5,1/2[ = ]-5,7/3[}$
Quelqu'un pourrait m'aider sur le point de la démonstration qui me bloque ? -
Ton passage encadré en rouge ? La réponse est dans le début de la phrase !
-
Ca, ça en dit déjà long sur les noeuds que tu vas te faire au cerveau sous peu. Voir que cet ensemble est convexe est immédiat par la définition de convexité sans parler d'intervalle. Parce que sinon, tu utilises déjà la propriété "intervalle de R => convexe" qui est inutile ici. C'est déjà too much d'une certaine manière (et qui demande aussi de vérifier que S est un intervalle).OS a écrit:$S=]1,\dfrac{7}{3}[$ qui est un intervalle de $\R$ donc un convexe. -
Quand j'utilise la caractérisation de la borne supérieur je trouve qu'il existe $c^{+}$ tel que $c<c^{+} \leq b$
Je ne comprends pas pourquoi l'intervalle est forcément ouvert en $b$, ni pourquoi on a le $\cap I$. -
Mais donc ça nécessite de montrer que S est un intervalle et le théorème « intervalle => convexe » là ou je dis qu’on peut se contenter de montrer la convexité. Le problème d’OS c’est qu’il commence comme ça et après il va utiliser des déterminants pour montrer que des matrices de taille 1 sont inversibles vois-tu… donc j’essaye de le faire aller au plus simple ce qu’il ne fait jamais, il se sent toujours obligé d’utiliser une propriété ou un théorème alors que ça ne sert à rien.
J’insiste : ce n’est pas faux, c’est juste un manque complet de réflexion dans le raisonnement, personne d’entre nous n’aurait écrit cela. C’est comme le fait que la fonction inverse n’est pas décroissante sur R* a cause des limites à gauche et à droite en 0, c’est correcte mais c’est ridicule comme raisonnement. -
On s'éloigne du sujet. Je reste bloqué sur la démonstration du passage entouré.
-
OShine a écrit :
Pour la boule ouverte le résultat est identique.
Mais la démonstration demande de justifier des inégalités strictes, ce n'est pas identique. -
Le passage entouré ne nécessite aucune démonstration : il s'agit simplement d'appliquer la définition (ou la "caractérisation", comme c'est écrit) de la borne supérieure (ou inférieure).
La borne supérieure de $I$ étant le plus petit des majorants de $I$, puisque $c$ est strictement plus petit que $\sup (I)$, on peut en déduire que... -
En appliquant la caractérisation de la borne supérieure, on obtient qu'il existe $c^{+}$ tel que $c < c^{+} \leq b$
Je ne comprends pas pourquoi $c^{+} \in ]c,b[ \cap I$.
Pourquoi c'est ouvert en $b$ ? Et pourquoi on a le $\cap I$ ?
@Rakam
Oui il y a un piège pour la boule ouverte.
Pour la boule ouverte. On a $||c_1-a|| <r$ et $||c_2-a|| <r$. Il faut faire attention car si $\lambda=0$ on n'a plus l'inégalité stricte en multipliant par $\lambda$.
Je fais exactement le même raisonnement que précédemment et je trouve $|| \lambda c_1 + (1-\lambda)c_2 || \leq \lambda ||c_1-a|| +(1- \lambda) ||c_2-a|| $
On ne peut pas avoir à la fois $\lambda=0$ et $1- \lambda=0$.
Si on prend $\lambda >0$ alors $ \lambda ||c_1-a|| < \lambda r$
Si $\lambda=0$ alors $||c_2-a|| <r$ -
On attend toujours ton raisonnement. Tu donnes ton résultat faux ou insuffisant du moins donc à toi de voir si tu veux réfléchir ou si tu veux la réponse tout cuit. Je t'ai mis la caractérisation de la borne supérieure que tu n'as pas rappelée. Il faut identifier le F, le $\varepsilon$, le $x$ etc.. A toi de jouer, tu as tous les ingrédients. Tu peux aussi attendre moins d'une heure qu'une personne en manque de reconnaissance et qui pensera te rendre service te donne la solution comme d'habitude.
-
On a $a<c<b$ avec $b= \sup I$
On a $F=I$, $M=\sup I=b$
On prend $\varepsilon =b-c >0$
Il existe $c^{+}$ tel que $ c < c^{+} \leq b= \sup I$ Il n'y a pas d'inégalité stricte en $b$.
Je ne comprends toujours pas le $]c,b[ \cap I$. D'où sort le $\cap I$ ? -
Tu as mal retranscrit la deuxième assertion. A part te suggérer d’apprendre à lire ou à recopier…
Pour le fait que l’on peut exclure b, demande toi pourquoi… Pourquoi le cas x=M peut être éliminé ? -
J'applique la définition de mon livre ça donne comme $c<b$ alors il existe $c^{+} \in I$ tel que $c^{+} > c$
Comme $c^{+} \in I$ alors $c^{+} \leq b$.
Donc $c^{+} \in I \cap ]c,b]$. Pourquoi l'intervalle serait ouvert en $b$ ? -
Ibni, regarde le cours que j'ai mis, l'inégalité est large sur le sup.
-
Un ensemble non vide où le seul(puisque tu sembles te focaliser sur les bornes) élément inférieur à la borne supérieure est cette borne supérieure serait comment?
-
$\forall x \in [0,1[,\ x \leq \sup\ [0,1[\;=1$, vrai ou faux ?
$\forall x \in [0,1],\ x \leq \sup\ [0,1]=1$, vrai ou faux ?
$\forall x \in [0,1[,\ x < \sup\ [0,1[\;=1$, vrai ou faux ?
$\forall x \in [0,1],\ x < \sup\ [0,1]=1$, vrai ou faux ?
$\exists x \in [0,1[,\ x \leq \sup\ [0,1[\;=1$, vrai ou faux ?
$\exists x \in [0,1],\ x \leq \sup\ [0,1]=1$, vrai ou faux ?
$\exists x \in [0,1[,\ x < \sup\ [0,1[\;=1$, vrai ou faux ?
$\exists x \in [0,1],\ x < \sup\ [0,1]=1$, vrai ou faux ?
Bonne nuit :-D -
OShine a écrit:Un singleton
Un singleton est un intervalle. Donc, comme l’ensemble vide, tu supposes que $a<b$(en effet, $\emptyset \subset I$ est trivialement vrai...).
Et donc....
Par ailleurs, penses-tu que l’ouverture ou la fermeture de l’intervalle en $a$ et $b$ dans l’encadré rouge implique une autre conclusion? -
On veut aussi que $c^{-}<c<c^{+}$.
Bon, comprends-tu tout de même que puisqu’on exclue le singleton, on peut se permettre d’ouvrir l’intervalle en $a$ et $b$ dans l’encadré rouge? -
Oui c'est clair merci Ibni.
-
Je crois surtout que l'encadré rouge a été mal lu. On parle de caractérisation de la borne supérieure et il s'agit évidemment de la borne supérieure de $]a,b[$ ce qui justifie la relation $c^+<b$.
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