À la recherche d'une fonction telle que ...

bou86000
bou86000
dans Analyse
Bonjour
Je suis à la recherche d'un exemple de fonction réelle $f$ définie sur $I$ (compact de $\mathbb{R}$ par exemple $[0,1]$) vérifiant
(1) $f$ est bornée sur $I$
(2) $f$ est dérivable et $f'$ est bornée sur $I$
(3) le minimum de $f$ sur $I$ est nul
(4) $\frac{1}{f}$ est intégrable sur $I$
Merci d'avance.

Réponses

  • marsup
    marsup
    Bonjour,

    Tu es sûr qu'il y en a, de tels contre-exemples ?

    Si je suppose, pour simplifier les "calculs", que $f(0) = 0$ et $|f'| \le 1$, alors $|f(x)| \le x$, donc $\frac{1}{f}$ ne peut pas être intégrable.
  • bou86000
    bou86000
    Bonsoir
    Je cherche juste un exemple, pas un contre-exemple ! .
  • Poirot
    Poirot
    Ben marsup te montre qu'il n'y a pas de tels exemples...
  • gebrane
    gebrane
    Mais elle demande que 1/f soit intégrable et non pas absolument intégrable. Je ne vois pas la contradiction avec le fait que $\forall x\in ]0,1], 1/x \leq 1/|f (x)|$

    J ' ai raté quoi?

    Édit aie f est positive car le min est nul
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    Très étrange cette appellation "absolument intégrable", on ne parle pas la même langue gebrane ?
  • gebrane
    gebrane
    Peut Etre Poirot
    Moi j'ai le même language que Aleg http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,379151,379159#msg-379159
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    Moi je parle celui de Lebesgue, je lui fais plus confiance !
  • Dom
    Dom
    Même avec Riemann.
    « Intégrable » signifie $\int |f|$ fini.

    Sinon, c’est $\int f$ converge (intégrale généralisée)

    La terminologie est telle quand on parle d’intervalle quelconque.

    Si on fait du Riemann pur, c’est sur $[a;b]$. Donc c’est équivalent j’imagine parce que l’on est à valeurs dans $\mathbb R$.
  • MrJ
    MrJ
    La question est étrange : le point (1) ne sert à rien...

    @bou86000 : pour quelle raison cherches-tu une telle fonction? (qui ne semble pas exister d’après les messages précédents).
  • gebrane
    gebrane
    Un contre-exemple si on remplace la 3 par $f$ s'annule sur le segment ?
    Le 😄 Farceur


  • bou86000
    bou86000
    Effectivement $f$ n'a aucune chance d'exister en présence du point (3).
    Merci à tous
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