Convexité implique différentiabilité ?

Bonjour
Je dispose d'une fonction $G\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}),\ \alpha$-convexe ($\alpha>0$), c'est-à-dire que pour tous $x,y\in\mathbb{R}^n$ et $t\in\,]0,1[$,
$$
G(tx+(1-t)y)\leq tG(x)+(1-t)G(y)-\alpha t(1-t)||x-y||^2.

$$ Dans un document j'ai vu ce qui suit. Soit $y\in\mathbb{R}^n$. L'inégalité qui précède donne directement
$$
\frac{G(y+t(x-y))-G(y)}{t}\leq G(x) - G(y) - \alpha (1-t)||x-y||^2.

$$ Puis pour $t\rightarrow 0^+$, on obtient $G$ différentiable en $y\ $ et
$$
D_yG(x-y)\leq G(x) - G(y) - \alpha ||x-y||^2.

$$ Je ne comprends pas ce qui est en rouge. A priori $G$ est seulement continue, donc pourquoi a-t-on existence de la limite dans le membre de gauche ? Ou alors est-ce une faute ?
Merci.