Exercice simple de dl

Antoine830 · May 2021

Bonjour
Un ami m’a demandé de l’aider sur cet exercice mais j’avoue ne pas vraiment réussir. Il m’a dit qu’il fallait utiliser les développements limités mais je viens tout juste de les commencer donc à part les dl classiques je n’ai pas encore vu d’applications/exercices

Il me faudrait si possible un peu d’aide, l’’énoncé est le suivant :

$Soit\ n\in\mathbb{N}^*,trouver\ un \ équivalent \ en \ 0 \ de\ e^x - (1+\frac{x}{n})^n$

Merci de votre aide.

ev · May 2021

Bonjour Antoine.

Tu as, à l'ordre 2 en zéro,
$ \left( 1+\frac xn \right)^n = 1 + x + \dfrac{n(n-1)}{2n^2} x^2 + x^2\varepsilon(x) $.

e.v.

gebrane · May 2021

Tu peux utiliser que $e^u -1\sim u$ lorsque u tend vers 0 quand x tend vers 0

Antoine830 · May 2021

Je trouve finalement,

$e^x-(1+\frac{x}{n})^n$ ~ $\frac{1}{2n}x^2$

Je pense lui proposer ça, merci beaucoup de votre aide !

Dom · May 2021

Pour info :
Pour tout $a$, $b$ strictement positifs : $a^b=\exp(b\ln (a))$.
Les DL(0) :
$e^u=...$ (à trouver, c’est usuel...)

$(1+u_n)^n=\exp(n\ln (1+u_n))$ et on applique le DL(0) suivant (car $u_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l’infini).

$\ln (1+u)=...$ (à trouver, c’est usuel...)

Puis on compose...

Exercice simple de dl

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