Réflexion sur la notion de norme subordonnée

Je souhaite redéfinir à ma manière (i.e. sans disjonction de cas selon la nullité de l'espace de départ) la notion de norme subordonnée d'une application linéaire continue.

Soit $u$ une application linéaire entre deux $\K$-espaces vectoriels normés $(E,\lVert.\rVert_E)$ et $(F,\lVert .\rVert_F)$, avec $\K\in\{\R,\C\}$. On note $B$ la boule-unité fermée de $E$ et $S$ la sphère-unité de $E$.

On pose :

• $A:=\{\lVert u(x)\rVert_F\mid x\in B\}$ ;
• $B:=\{\lVert u(x)\rVert_F\mid x\in S\}$ ;
• $C:=\{\frac{\lVert u(x)\rVert_F}{\lVert x\rVert_E}\mid x\in E\setminus\{0_E\}\}$.

Dès lors, on obtient le théorème-définition suivant :

Si $u$ est continue, alors les ensembles $A$, $B$ et $C$ admettent une borne supérieure [...] commune notée $\lVert u\rVert$ et appelée norme subordonnée de $u$.

Pour moi, à cause de l'ensemble $C$ (et de $B$, merci Calli) et du cas $E=\{0_E\}$, il faut préciser (à la place de [...]) que la borne supérieure est prise dans $[0,+\infty]$. Sinon, si on entend comme usuellement la borne supérieure dans $\R$ (muni de la topologie usuelle), alors si $E=\{0_E\}$, $C$ est vide donc $\sup C$ n'est pas défini. Et si on se place dans $\overline{\R}$ (muni de la topologie usuelle), alors avec $E=\{0_E\}$, on aurait $\sup C=-\infty\neq\sup A\in\R$.

Confirmez-vous mon raisonnement ? Je m'interroge car je n'ai sauf erreur jamais lu ces précautions dans les cours qui présentent la notion sans disjonction de cas.