Une propriété caractérisant la convergence

Raro · May 2021

Bonjour.
Un étudiant, en première année, m'a posé la question suivante.

Soit $(u_k)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite de nombre réels positifs.
1. Vérifiez que si $(u_k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge, alors pour tout $x \in \mathbb{R}, (\min(u_k,x))_{k \in \mathbb{N}}$ converge.
2. Fixons $u \in \mathbb{R}^+.$ Réciproquement, vérifiez que si pour tout $x \in \mathbb{\mathbb{R}},\lim_{k \to +\infty} \min(x, u_k)=\min(x,u)$ alors $\lim_{k \to +\infty}u_k=u.$

Le 1. est résolu (hyperfacile).
Pour le 2. on peut utiliser $\limsup_k$ et $\liminf_k,$ mais ces deux notions sont hors-programme.

Dans ce cas il faut utiliser la définition : fixant $\delta>0,$ il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $u-\frac{\delta}{2} \leq \min(p,u),$ et $k \in \mathbb{N}$ tel que pout tout $r \geq k,$
$$x-\delta \leq \min(p,u)-\frac{\delta}{2} \leq\min(u_r,p) \leq u_r.

$$ Il reste à vérifier $u_r \leq u + \delta$ pour $r$ assez grand. Que proposez-vous ?
Merci.

Math Coss · May 2021

Je ne comprends pas la question parce que ce $u$ ne nous a pas été présenté.

Supposons qu'il soit donné en même temps que la suite $(u_k)$. On prend alors $x=u+2$. Par hypothèse, la suite $(\min(u_n,u+2))_{n}$ converge vers $\min(u,u+2)=u$ donc pour $n$ assez grand, $\min(u_n,u+2)\le u+1$, ce qui entraîne que $u_n\le u+2$ puis que $(u_n)$ converge vers $u$.

Si l'hypothèse est que pour tout $x$, il existe $u$ tel que $\lim\min(x,u_n)=\min(x,u)$, ça ne marche pas (prendre $(u_n)$ constante égale à $0$, $x=-1$, et n'importe quelle valeur $>-1$ pour $u$).

gerard0 · May 2021

A noter aussi que la première question ("Le 1. est résolu (hyperfacile)." ) telle qu'elle est écrite ici n'a aucun sens, le bout de phrase après le "alors" ne disant rien.