Analyse fonctionnelle
dans Analyse
J'étudie l'analyse fonctionnelle et je suis tombé sur une proposition qui m'a fait réfléchir.
Soient $X$ et $Y$ des espaces normés et soient $S,T\in \mathcal{L}(X,Y)$. Si
i) $||Sx||\leqslant k||Tx||$ pour tout $x\in X$, pour centains $k>0$.
ii) $S$ a une image fermée avec $N(T)=N(S)$, alors $T$ a une image fermée.
Comment pourrais-je le prouver ?
L'un des espaces ne devrait-il pas être au moins un espace de Hilbert ?
Merci.
Notation:
Désolé, je n'ai pas pris la peine de clarifier la notation.
Soient $X$ et $Y$ des espaces normés et soient $S,T\in \mathcal{L}(X,Y)$. Si
i) $||Sx||\leqslant k||Tx||$ pour tout $x\in X$, pour centains $k>0$.
ii) $S$ a une image fermée avec $N(T)=N(S)$, alors $T$ a une image fermée.
Comment pourrais-je le prouver ?
L'un des espaces ne devrait-il pas être au moins un espace de Hilbert ?
Merci.
Notation:
- $X$ et $Y$ espaces normés
- $\mathcal{L}(X,Y)$espace normalisé de tous les opérateurs linéaires continues de $X$ à $Y$.
- $N(T)$ espaces nuls d'un opérateur linéaire $T$.
Désolé, je n'ai pas pris la peine de clarifier la notation.
Réponses
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C'est quoi une plague ? Je n'arrive même pas à voir quelle pourrait être le mot français correspondant (plague voulant dire peste en anglais à ma connaissance).
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Dans ce cas le terme français est "image fermée".
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Merci pour la correction. Je vais corriger à ce moment.
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Si on est dans un Banach ça se fait bien avec les suites en utilisant un critère de Cauchy.
Sinon que veut dire N ? La norme d'opérateur ? -
Le mieux est de scanner la version anglaiseLe 😄 Farceur
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RLC, En supposant d’être dans des Banach, j'ai fait tourner ton raisonnement dans tous les sens, je ne le vois pas car les opérateurs ne sont pas forcement continus( bornés)Le 😄 Farceur
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Ah pour moi la notation L(X,Y) sous-entend. Effectivement attendons une version complète.
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Rappel
L(X,Y) désigne l'ensemble des applications linéaires de X dans Y
${\cal L}(X,Y)$ désigne l'ensemble des applications linéaires continues de X dans YLe 😄 Farceur -
Pour un opérateur $T,$ $N(T)$ désigne "classiquement" le noyau de cet opérateur.
Il s'agit de montrer une forme du théorème de factorisation (algébrique) mais dans sa variante topologique (avec la notion de supplémentaire topologique). -
Merci gebrane, je n'ai jamais entendu parler de cette distinction. Les quelques cours que j'ai eus en analyse fonctionnelle n'utilisaient aucune abréviation pour les opérateurs non bornés, et effectivement le L gothique pour le cas contraire.
Merci aussi BobbyJoe. -
Bonsoir BJ, l'énoncé ne manque de rien? On est bien dans des e.v.n seulement ?Le 😄 Farceur
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Bonjour, j'ai ajouté les notations. Pardon.
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Sûr qu'il n'y a pas une hypothèse de complétude quelque part ? (je pense au cas $S=I$, qui est classique).
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Bonjour!
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