Somme d'une série

• d'abord elle est fausse si $x<0$ (lorsque $|x|<1$, le membre de droite est du signe de $x$, celui de gauche du signe de $-x$) ;
• ensuite, elle ne peut assurément pas servir à montrer la convergence de la série :
  • pour montrer l'existence d'un objet, c'est peine perdue d'utiliser une propriété de cet objet (qui ne peut être établie que sous l'hypothèse que l'objet existe !) ; autrement dit, on ne montrera jamais la convergence d'une série en l'encadrant, même entre « deux réels égaux » ;
  • on peut bien montrer la convergence d'une série en encadrant les sommes partielles entre deux suites qui ont la même limite ; en revanche, ici, si on encadre les sommes partielles de $(-1)^{n-1}x^n/n$ entre deux suites qui convergent, disons en écrivant que pour $N\ge1$, \[-\sum_{n=1}^N \frac{x^n}{n}\leq \sum_{n=1}^N(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\leq \sum_{n=1}^N \frac{x^n}{n},\] on n'en tire rien du tout parce que si on fait tendre $N$ vers l'infini, le membre de gauche et le membre de droite ont des limites différentes (si $x\ne0$) ; en effet, le fait qu'une suite soit bornée n'entraîne pas qu'elle est convergente.

Bisam a écrit:

On peut démontrer que si $u$, $v$ et $w$ sont trois suites réelles telles que $\forall n\in\N,\ u_n\leq v_n \leq w_n$ et si les séries $\sum_{n\geq 0} u_n$ et $\sum_{n\geq 0} w_n$ convergent alors la série $\sum_{n\geq 0} v_n$ converge également.