Sommation par tranches (série numérique)

topopot
topopot
dans Analyse
Tout d'abord un rappel de la théorie selon ce que je comprends avec mes notations (n'hésitez pas à corriger si besoin). Soient :
  • $\sum_n u_n$ une série numérique.
  • $\varphi:\N\rightarrow\N$ strictement croissante.
  • $(y_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $y_0:=\sum_{i=0}^{\varphi(0)}u_i$ et pour tout $n\geqslant 1, y_n:=\sum_{i=1+\varphi(n-1)}^{\varphi(n)}u_i$.
  • Pour tout entier $n>\varphi(0)$ :
    • $\tilde{n}:=\max\{k\in\N\mid \varphi(k)<n\}$ (qui existe bien car l'ensemble en question est une partie non vide majorée de $\N$).
    • $\rho_n:=\sum_{i=1+\varphi(\tilde{n})}^{n}u_i$.

On a alors les deux résultats suivants :

1) $[\sum_n u_n$ converge$]\iff [\sum_n y_n$ converge et $(\rho_n)_{n\in\N}$ converge vers 0$]$.
2) Plus précisément, pour le sens $(\impliedby)$, lorsque $\sum_n y_n$ converge, chacune des trois assertions suivantes est suffisante pour obtenir la convergence de $(\rho_n)_{n\in\N}$ vers $0$ (et donc la convergence de $\sum_n u_n$) :
  1. La suite $(u_n)_{n\in\N}$ est de signe constant.
  2. La suite $(u_n)_{n\in\N}$ est de signe constant dans chaque tranche (i.e. pour tout $n\in\N^*$ et tout $i\in [\![1+\varphi(n-1),\varphi(n)]\!]$, $u_i$ est de signe constant).
  3. La suite $(u_n)_{n\in\N}$ tend vers $0$ et la suite $(\varphi(n)-\varphi(n-1))_{n\in\N^*}$ est bornée.

Je reprécise que la démonstration de ces résultats ne me pose pas de problème.Auriez-vous des exemples de séries où l'on peut utiliser ces résultats ? Idéalement des simples (voire très simples) et des plus difficiles.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Facile $u_n= \cos( (2n\pi) /3n)$ correction $u_n= \frac{\cos( \frac{2n\pi}3)}n$
    Difficile $u_n= 1/ \lfloor \ln_{10}(n)\rfloor $
    Le 😄 Farceur


  • topopot
    topopot
    Pour le facile, comme $(u_n)_{n\in\N^*}$ tend vers $0$, il suffit, en posant pour tout $n\in\N^*, y_n:=u_{3n}+u_{3n+1}+u_{3n+2}$ (donc $\varphi:n\in\N^*\mapsto 3n\in\N^*$ et $(\varphi(n)-\varphi(n-1))_{n\geqslant 2}$ bornée car égale à $(3)$), de montrer que $\sum_{n\geqslant 1}y_n$ converge.
    Or c'est bien le cas car $y_n\sim_{n\to\infty}\frac{-1}{18n^2}$, terme général de signe constant dont la série converge.

    Pour le difficile je ne sais pas.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Que veut dire $\cos( (2n\pi) /3n)$? On se retrouve avec $n^2$ dans l'argument du cosinus ou bien les $n$ se simplifient et on a un terme constant?
  • topopot
    topopot
    Je pense que le $n$ à côté du $3$ doit être en dehors de la parenthèse :
    $$\dfrac{\cos (2n\pi/3)}{n}.
    $$ En tout cas c'est comme ça que je l'ai compris.
  • gebrane
    gebrane
    Coquille corrigé
    Le 😄 Farceur


  • topopot
    topopot
    En regardant ce que disait le RDO à ce sujet, il y a un passage qui m'embête dans la démonstration, je mets ci-dessous le théorème et la preuve associée, avec le passage en jaune que je ne comprends pas voire qui me semble faux.

    Pouvez-vous me donner votre avis ?123342
    123344
  • topopot
    topopot
    Sauf erreur, il y a effectivement une erreur, il faut préciser que c'est pour tout $n\geqslant\varphi (0)$ qu'il existe un unique $p(n)$... Et non pour tout $n\in\N$.
  • topopot
    topopot
    Je ne comprends vraiment pas l'égalité que j'ai surlignée en jaune : pouvez-vous m'aider ?123358
  • topopot
    topopot
    En effet, selon moi, $(A_n-A_{\varphi(p(n))})+(B_{p(n)}-B)=\sum_{k=1+\varphi(p(n))}^n a_k-\sum_{k=1+p(n)}^{+\infty}b_k$ tandis que $A_n-B=\sum_{k=0}^n a_k-\sum_{k=0}^{+\infty}b_k$.

    Même en utilisant $\varphi(p(n))\leqslant n<\varphi(1+p(n))$, je ne vois pas comment m'en sortir.
  • topopot
    topopot
    Je me permets de relancer !
  • Amathoué
    Amathoué
    Hello topopot!

    Et donc $B_{p(n)}$=...123412
  • topopot
    topopot
    Merci c'est bon.
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