Analyse d'une fonction avec $\ln$ et $i$
Bonjour
Pourriez-vous m'aider sur cet exercice s'il vous plaît ?
Soit $h$ définie par $\ h(z)=\dfrac{i}{2} \ln( \frac{i+z}{i-z})$.
Soit $a$ réel. Calculer $\ \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} h(ia+\varepsilon)- \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} h(ia-\varepsilon).$
Discuter selon que $\vert a \vert =1, <1,>1$
Je trouve que quand $\varepsilon$ tend vers $0$, $h(ia+\varepsilon)$ et $h(ia-\varepsilon)$ tendent vers $\dfrac{i}{2} \ln\Big(\dfrac{i+ia}{i-ia}\Big)$.
Je ne sais pas quoi en dire...
Merci d'avance.
Pourriez-vous m'aider sur cet exercice s'il vous plaît ?
Soit $h$ définie par $\ h(z)=\dfrac{i}{2} \ln( \frac{i+z}{i-z})$.
Soit $a$ réel. Calculer $\ \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} h(ia+\varepsilon)- \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} h(ia-\varepsilon).$
Discuter selon que $\vert a \vert =1, <1,>1$
Je trouve que quand $\varepsilon$ tend vers $0$, $h(ia+\varepsilon)$ et $h(ia-\varepsilon)$ tendent vers $\dfrac{i}{2} \ln\Big(\dfrac{i+ia}{i-ia}\Big)$.
Je ne sais pas quoi en dire...
Merci d'avance.
Réponses
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Ton calcul de limite est visiblement faux, puisque tu obtiens $0$ pour la différence des limites et tu n'as fait aucune distinction comme suggéré dans l'énoncé.
Comment as-tu calculé tes limites ? Comment définis-tu ton logarithme complexe ? -
oui c'est bien ce que je pensais
Qu'entendez-vous par logarithme complexe? Mon exercice indique qu'il s'agit du logarithme canonique -
C'est quoi ton "logarithme canonique" ? C'est quand même important de le savoir pour faire des choses avec !
Je parle de logarithme complexe puisque tu manipules visiblement des logarithmes de nombre complexe, c'est le nom usuel pour ce genre de choses. -
ah oui d'accord, c'est $\ln(z)=\ln(\vert z \vert )+i \arg(z)$ pour $z$ complexe.
Mais du coup ça complique le calcul des limites, comment calculer les arguments ? -
Saurais-tu calculer l'argument de $i+ia+\varepsilon$ ? Si oui, tu sais calculer tout ce dont tu as besoin.
-
Il me semble que l'on aurait $\ \cos \theta = \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{(1+a)^2+\varepsilon^2}}$ et $\ \sin \theta=\dfrac{1+a}{\sqrt{(1+a)^2+\varepsilon^2}}$ ?
Je ne vois pas comment déterminer l'angle correspondant ... -
C'est un truc classique : qu'est-ce que tu obtiens si tu regardes $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ ?
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J'obtiens $\dfrac{1+a}{\varepsilon}$ ? Mais comment obtenir l'argument avec ce quotient ?
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La fonction $\frac{\sin}{\cos}$ ne porte-t-elle pas un nom ?
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si évidemment, la tangente ! On a donc $\theta = \arctan \frac{1+a}{\varepsilon}$ ?
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Pas toujours, il faut faire attention, mais c'est l'idée. À toi de jouer maintenant.
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Poirot c'est toujours pour $i+ia+\varepsilon$
Ce n'est pas toujours pour $i+ia-\varepsilon$
C’était pour le bien de fifiLe 😄 Farceur -
Poirot ce sont des choses qu'on apprend en cours. Mais regardons comment elle va s'en sortir aprèsLe 😄 Farceur
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$a$ peut être négatif.
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Poirot a négatif ou non ça ne change pas $Arg(i+ia+\varepsilon)$ mais ca change $Arg(i+ia-\varepsilon)$Le 😄 Farceur
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Merci à tous les 2, je me rends compte que tout cela est vraiment lointain, une relecture des cours s'impose ! Je devrais alors m'en sortir avec vos indications !
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Bonjour!
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