Analyse d'une fonction avec $\ln$ et $i$

fifi21
fifi21
dans Analyse
Bonjour
Pourriez-vous m'aider sur cet exercice s'il vous plaît ?

Soit $h$ définie par $\ h(z)=\dfrac{i}{2} \ln( \frac{i+z}{i-z})$.
Soit $a$ réel. Calculer $\ \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} h(ia+\varepsilon)- \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} h(ia-\varepsilon).$
Discuter selon que $\vert a \vert =1, <1,>1$

Je trouve que quand $\varepsilon$ tend vers $0$, $h(ia+\varepsilon)$ et $h(ia-\varepsilon)$ tendent vers $\dfrac{i}{2} \ln\Big(\dfrac{i+ia}{i-ia}\Big)$.
Je ne sais pas quoi en dire...
Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ton calcul de limite est visiblement faux, puisque tu obtiens $0$ pour la différence des limites et tu n'as fait aucune distinction comme suggéré dans l'énoncé.

    Comment as-tu calculé tes limites ? Comment définis-tu ton logarithme complexe ?
  • fifi21
    fifi21
    oui c'est bien ce que je pensais

    Qu'entendez-vous par logarithme complexe? Mon exercice indique qu'il s'agit du logarithme canonique
  • Poirot
    Poirot
    C'est quoi ton "logarithme canonique" ? C'est quand même important de le savoir pour faire des choses avec !

    Je parle de logarithme complexe puisque tu manipules visiblement des logarithmes de nombre complexe, c'est le nom usuel pour ce genre de choses.
  • fifi21
    fifi21
    ah oui d'accord, c'est $\ln(z)=\ln(\vert z \vert )+i \arg(z)$ pour $z$ complexe.
    Mais du coup ça complique le calcul des limites, comment calculer les arguments ?
  • Poirot
    Poirot
    Saurais-tu calculer l'argument de $i+ia+\varepsilon$ ? Si oui, tu sais calculer tout ce dont tu as besoin.
  • fifi21
    fifi21
    Il me semble que l'on aurait $\ \cos \theta = \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{(1+a)^2+\varepsilon^2}}$ et $\ \sin \theta=\dfrac{1+a}{\sqrt{(1+a)^2+\varepsilon^2}}$ ?
    Je ne vois pas comment déterminer l'angle correspondant ...
  • Poirot
    Poirot
    C'est un truc classique : qu'est-ce que tu obtiens si tu regardes $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ ?
  • fifi21
    fifi21
    J'obtiens $\dfrac{1+a}{\varepsilon}$ ? Mais comment obtenir l'argument avec ce quotient ?
  • Poirot
    Poirot
    La fonction $\frac{\sin}{\cos}$ ne porte-t-elle pas un nom ?
  • fifi21
    fifi21
    si évidemment, la tangente ! On a donc $\theta = \arctan \frac{1+a}{\varepsilon}$ ?
  • gebrane
    gebrane
    https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbada523326b6e644cb95ce9f46539bbe249487a123266
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    Pas toujours, il faut faire attention, mais c'est l'idée. À toi de jouer maintenant.
  • Poirot
    Poirot
    @gebrane : Pourquoi donner la réponse toute prête au lieu de laisser fifi21 faire cette recherche personnelle qu'il est important de faire au moins une fois ?
  • gebrane
    gebrane
    Poirot c'est toujours pour $i+ia+\varepsilon$
    Ce n'est pas toujours pour $i+ia-\varepsilon$

    C’était pour le bien de fifi
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Poirot ce sont des choses qu'on apprend en cours. Mais regardons comment elle va s'en sortir après
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    $a$ peut être négatif.
  • gebrane
    gebrane
    Poirot a négatif ou non ça ne change pas $Arg(i+ia+\varepsilon)$ mais ca change $Arg(i+ia-\varepsilon)$
    Le 😄 Farceur


  • fifi21
    fifi21
    Merci à tous les 2, je me rends compte que tout cela est vraiment lointain, une relecture des cours s'impose ! Je devrais alors m'en sortir avec vos indications !
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