Enveloppe convexe
Bonsoir
Je bloque sur les deux points encadrés. Pour le premier je ne vois pas le rapport avec la proposition 2.
Pour le deuxième je ne comprends pas le raisonnement ni le rapport avec la proposition 4.
Il y a pas une erreur dans la proposition 4 ? Ce n'est pas $x_1, \ldots, x_p \in C$ au lieu de $E$ ?
Je bloque sur les deux points encadrés. Pour le premier je ne vois pas le rapport avec la proposition 2.
Pour le deuxième je ne comprends pas le raisonnement ni le rapport avec la proposition 4.
Il y a pas une erreur dans la proposition 4 ? Ce n'est pas $x_1, \ldots, x_p \in C$ au lieu de $E$ ?
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Réponses
Oui les $x_i$ doivent être dans $C$ dans la Proposition $4$.
D'accord merci Poirot, je m'en suis sorti en écrivant les choses. Pas de difficulté en effet.
Posons $B= \{ Vect( x_i) \ | \ x_i \in A \ | \ \lambda_i \geq 0 \ | \ \displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i =1 \}$
Montrons que $B$ est convexe. Pour cela, fixons $\lambda \in [0,1]$ et $(x,y) \in B^2$.
Ainsi il existe des scalaires $(\lambda_i)$ et $(\mu_i)$ tels que $x= \displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i $ et $y= \displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i y_i $ où $\forall i \in [|1,p|] \ x_i,y_i \in A$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i = \displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i =1$
Donc $\lambda x+(1-\lambda)y = \lambda bar( \lambda_i ,x_i) + (1-\lambda) bar(\beta_i,y_i)$ avec $\lambda+1-\lambda=1$
D'après la proposition $4$, $\lambda x+(1-\lambda)y$ est le barycentre des points $(\lambda_1,x_1), \cdots, (\lambda_p,x_p), (\beta_1,y_1), \cdots, (\beta_p,y_q)$ donc :
$\lambda x+(1-\lambda)y= \displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i +\displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i y_i \in Vect(x_i)+Vect(y_i)= \boxed{ Vect((x_i) \cup (y_i))}$
La famille $(x_i) \cup (y_i)$ étant une famille d'éléments de $A$, on en déduit que $\lambda x+(1-\lambda)y \in B$
Finalement $\boxed{\lambda x+(1-\lambda)y \in B}$ et $B$ est convexe.
Soit $x \in B$. Posons $x=\displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i$ avec les $x_i$ dans $A$.
Mais $Conv(A)$ contient $A$ donc les $x_i$ sont dans $Conv(A)$.
Ainsi, $x=\displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \in Conv(A)$. On a montré $\boxed{B \subset Conv(A)}$.
Il va falloir expliquer cela !
Montrons que si $A$ et $B$ sont des parties de $E$, alors $Vect(A \cup =Vect(A)+Vect(B)$
Soit $x \in Vect(A \cup $. Alors $x=\displaystyle\sum_{u \in A} \lambda_u u + \displaystyle\sum_{v \in B \backslash A} \lambda_v v \in Vect(A)+Vect(B)$
Réciproquement, soit $x \in Vect(A)+Vect(B)$. Alors il existe $x_A \in A$ et $x_B \in B$ tels que $x=x_A+x_B$
Or $x_A=\displaystyle\sum_{u \in A} \lambda_u u$ et $x_B= \displaystyle\sum_{v \in B \backslash A} \lambda_v v$
D'où $x=\displaystyle\sum_{u \in A} \lambda_u u+\displaystyle\sum_{v \in B \backslash A} \lambda_v v$
Enfin $x=\displaystyle\sum_{w \in B \cup A} \lambda_w w \in Vect(A \cup $
Alors je ne sais pas s'il s'agit d'une notation malheureuse ou pire? C'est dans ce sens que j'avais posé ma question et il faut clarifier cela...
J'ai l'impression que les auteurs commencent à bien connaître OShine.
Ce que je trouve un peu comique est que le type qui leur signale le plus d'erreurs dans leurs bouquins est celui qui a du mal à faire les exo (à lire le corrigé des exo à vrai dire...). Sans rancune OShine B-)-
Non c'était le Grifone mais j'ai abandonné ce livre car les exercices n'étaient pas corrigés.
Je n'ai jamais envoyé d'erreurs sur le J'intègre. Il contient peu d'erreurs mais je trouve que celle-ci peut freiner à la compréhension et faire perdre du temps inutilement.
J'ai du perdre 10 min à me creuser la tête pour comprendre que ça n'avait pas de sens.
@Noobey
J'ai repris mon bouquin il y a un complément sur les familles et parties génératrices quelconques.
En fait même si $E$ est de dimension infinie, une partie génératrice est toujours finie. (Si j'ai bien compris).
$G$ est une partie génératrice de l'espace vectoriel $E$ si et seulement si $G \subset E$ et :
$\boxed{\forall x \in E \ \exists n \in \N^{*} \ \exists (g_i)_{i \in [|1,n|]} \in G^n \ \exists (\lambda_i)_{i \in [|1,n|]} \in \K^n \ \ x=\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i g_i}$
Or $Vect(A)$ est une partie génératrice de $A$ par définition.
En tout cas, toujours la méconnaissance des définitions de base que OS a commencé à étudier il y a 2 ans !! C'est quand même le premier chapitre du cours d'algèbre linéaire.
Comme quoi lire des corrigés d'exercices n'apprend pas le B-A-BA du cours.
Noobey OK c'est juste que tout élément de E s'écrit comme combinaison finie d'éléments de G.
On a parlé de ce genre de choses il y a déjà deux ans sur un autre forum.
J’ai juste survolé le fil, mais ici tu mentionnes la dimension infinie.
Mais écrire ceci est en fait plus grave OShine, puisque:
1- Même en dimension finie, une partie génératrice peut-être infinie (prendre l’espace tout entier par exemple, auquel tu peux si tu le souhaites enlever autant de vecteurs que tu veux, il est évidemment générateur).
2- (Le plus grave) La finitude d’au moins une partie génératrice est justement ce qui permet de définir la dimension finie...
Si $E$ est de dimension finie, de quelle partie génératrice infinie parlez vous ?
On dit que $E$ est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie. Dans le cas contraire, on dit que $E$ est de dimension infinie.
"de quelle partie génératrice infinie parlez vous ? " Tu sais lire ? Relis, c'est dit. Et si $E$ est un espace vectoriel réel de dimension au moins 1, alors $E$ est infini (lis bien ce qui est écrit, je ne dis pas "de dimension finie", je dis "de cardinal infini". Tu as déjà fait la confusion il y a peu, tu n'apprends vraiment pas sérieusement de ce qu'on t'explique).
Exercice (niveau L1) : Démontrer que si $(E,+,.)$ est un espace vectoriel, $E$ est une partie génératrice de $E$.
J'ai lu dans des rapports de concours qu'on parlait de dimension pour un espace vectoriel et de cardinal pour des familles, et que la confusion était fréquente.
Ma solution de l'exercice.
$G$ est une partie génératrice de $E$ si et seulement si $G \subset E$ et :
$\forall x \in E \ \ \exists n \in \N^{*} \ \ \exists (g_i)_{i \in [|1,n|]} \in G^n \ \exists (\lambda_i)_{i \in [|1,n|]} \in \K^n \ \ x=\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i g_i$
Ici on a bien $G \subset E$ et en choisissant $n=1$, $\lambda_1=1$ et $g_i=x$ on a $x= 1 \times x$.
Donc $E$ est une famille génératrice de $E$.
Ce qui te manque souvent est de savoir dire les choses de cette façon non rigoureuse, mais qui a du sens. Tu passe tellement de temps à examiner les détails que tu perds de vue le sens des mots.