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Enveloppe convexe

Envoyé par OShine 
Enveloppe convexe
04 juin 2021, 02:11
Bonsoir
Je bloque sur les deux points encadrés. Pour le premier je ne vois pas le rapport avec la proposition 2.
Pour le deuxième je ne comprends pas le raisonnement ni le rapport avec la proposition 4.
Il y a pas une erreur dans la proposition 4 ? Ce n'est pas $x_1, \ldots, x_p \in C$ au lieu de $E$ ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/06/2021 02:29 par AD.


Re: Enveloppe convexe
04 juin 2021, 03:00
Si tu ne vois pas le rapport avec la proposition $2$ c'est parce que tu n'as même pas cherché à démontrer la convexité de $B$. C'est toujours le même problème qu'on te signale depuis très longtemps, tu lis les corrections sans y réfléchir, et comme les détails ne sont pas donnés, ça te passe complètement au-dessus. Si tu cherches comment on peut montrer que $B$ est convexe, tu verras que c'est une application immédiate de la Proposition $2$. Même chose pour l'autre sens.

Oui les $x_i$ doivent être dans $C$ dans la Proposition $4$.
Re: Enveloppe convexe
04 juin 2021, 10:07
La coquille du livre sur la proposition 4 est une grosse coquille, il faudrait que je la signale aux auteurs.

D'accord merci Poirot, je m'en suis sorti en écrivant les choses. Pas de difficulté en effet.

Posons $B= \{ Vect( x_i) \ | \ x_i \in A \ | \ \lambda_i \geq 0 \ | \ \displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i =1 \}$

Montrons que $B$ est convexe. Pour cela, fixons $\lambda \in [0,1]$ et $(x,y) \in B^2$.

Ainsi il existe des scalaires $(\lambda_i)$ et $(\mu_i)$ tels que $x= \displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i $ et $y= \displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i y_i $ où $\forall i \in [|1,p|] \ x_i,y_i \in A$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i = \displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i =1$

Donc $\lambda x+(1-\lambda)y = \lambda bar( \lambda_i ,x_i) + (1-\lambda) bar(\beta_i,y_i)$ avec $\lambda+1-\lambda=1$

D'après la proposition $4$, $\lambda x+(1-\lambda)y$ est le barycentre des points $(\lambda_1,x_1), \cdots, (\lambda_p,x_p), (\beta_1,y_1), \cdots, (\beta_p,y_q)$ donc :

$\lambda x+(1-\lambda)y= \displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i +\displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i y_i \in Vect(x_i)+Vect(y_i)= \boxed{ Vect((x_i) \cup (y_i))}$

La famille $(x_i) \cup (y_i)$ étant une famille d'éléments de $A$, on en déduit que $\lambda x+(1-\lambda)y \in B$

Finalement $\boxed{\lambda x+(1-\lambda)y \in B}$ et $B$ est convexe.

Soit $x \in B$. Posons $x=\displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i$ avec les $x_i$ dans $A$.

Mais $Conv(A)$ contient $A$ donc les $x_i$ sont dans $Conv(A)$.

Ainsi, $x=\displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \in Conv(A)$. On a montré $\boxed{B \subset Conv(A)}$.
Re: Enveloppe convexe
04 juin 2021, 11:41
Citation
Os
$\lambda x+(1-\lambda)y= \displaystyle\sum_{i=1}^p
\lambda_i x_i +\displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i
y_i \in Vect(x_i)+Vect(y_i)= \boxed{ Vect((x_i)
\cup (y_i))}$

Il va falloir expliquer cela !
Re: Enveloppe convexe
04 juin 2021, 11:59
Par contre, je ne suis pas sûr de comprendre à quoi sert l'hypothèse $E$ espace vectoriel de dimension finie.

Montrons que si $A$ et $B$ sont des parties de $E$, alors $Vect(A \cup B)=Vect(A)+Vect(B)$

Soit $x \in Vect(A \cup B)$. Alors $x=\displaystyle\sum_{u \in A} \lambda_u u + \displaystyle\sum_{v \in B \backslash A} \lambda_v v \in Vect(A)+Vect(B)$

Réciproquement, soit $x \in Vect(A)+Vect(B)$. Alors il existe $x_A \in A$ et $x_B \in B$ tels que $x=x_A+x_B$

Or $x_A=\displaystyle\sum_{u \in A} \lambda_u u$ et $x_B= \displaystyle\sum_{v \in B \backslash A} \lambda_v v$

D'où $x=\displaystyle\sum_{u \in A} \lambda_u u+\displaystyle\sum_{v \in B \backslash A} \lambda_v v$

Enfin $x=\displaystyle\sum_{w \in B \cup A} \lambda_w w \in Vect(A \cup B)$
Re: Enveloppe convexe
04 juin 2021, 12:09
C'est quoi $\sum_{u\in A} \lambda_u u$ si $A$ est infini ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/06/2021 12:28 par AD.
Re: Enveloppe convexe
04 juin 2021, 12:15
Si $A$ est infini la somme diverge.
Re: Enveloppe convexe
04 juin 2021, 12:45
Donc ça veut dire que si $x \in Vect(A \cup B)$ alors $x$ n'existe pas vu que la somme diverge?
Re: Enveloppe convexe
04 juin 2021, 12:47
En fait j'ai posé la question sans lire l'ensemble. Et pour moi $vect(x_i)$ c'est un espace vectoriel.

Alors je ne sais pas s'il s'agit d'une notation malheureuse ou pire? C'est dans ce sens que j'avais posé ma question et il faut clarifier cela...
Re: Enveloppe convexe
04 juin 2021, 14:38
avatar
Citation
OShine
La coquille du livre sur la proposition 4 est une grosse coquille, il faudrait que je la signale aux auteurs.

J'ai l'impression que les auteurs commencent à bien connaître OShine.

Ce que je trouve un peu comique est que le type qui leur signale le plus d'erreurs dans leurs bouquins est celui qui a du mal à faire les exo (à lire le corrigé des exo à vrai dire...). Sans rancune OShine smoking smiley
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 02:47
@Raoul.S

Non c'était le Grifone mais j'ai abandonné ce livre car les exercices n'étaient pas corrigés.
Je n'ai jamais envoyé d'erreurs sur le J'intègre. Il contient peu d'erreurs mais je trouve que celle-ci peut freiner à la compréhension et faire perdre du temps inutilement.
J'ai du perdre 10 min à me creuser la tête pour comprendre que ça n'avait pas de sens.

@Noobey
J'ai repris mon bouquin il y a un complément sur les familles et parties génératrices quelconques.

En fait même si $E$ est de dimension infinie, une partie génératrice est toujours finie. (Si j'ai bien compris).

$G$ est une partie génératrice de l'espace vectoriel $E$ si et seulement si $G \subset E$ et :

$\boxed{\forall x \in E \ \exists n \in \N^{*} \ \exists (g_i)_{i \in [|1,n|]} \in G^n \ \exists (\lambda_i)_{i \in [|1,n|]} \in \K^n \ \ x=\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i g_i}$

Or $Vect(A)$ est une partie génératrice de $A$ par définition.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 05/06/2021 03:10 par OShine.
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 05:36
Non une partie génératrice peut très bien être infinie.
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 09:39
Confusion entre partie génératrice et combinaison linéaire ? Ou raisonnement faux du genre "dans une combinaison linéaire il n'y a qu'un nombre fini de vecteurs, donc une partie génératrice est finie" ?

En tout cas, toujours la méconnaissance des définitions de base que OS a commencé à étudier il y a 2 ans !! C'est quand même le premier chapitre du cours d'algèbre linéaire.

Comme quoi lire des corrigés d'exercices n'apprend pas le B-A-BA du cours.
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 10:09
avatar
Gerard, tu viens d’intervenir sur un fil d’OShine grinning smiley
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 10:59
avatar
Mais non ibni ce n'est pas ça.grinning smiley

Citation

Oshine a enchanté certains membres de ce forum dont je fais partie , on se presse de lui répondre.. Comme preuve personne ne répond aux demandes d'aides de topo [www.les-mathematiques.net]

Signature: Je suis de passage .
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 12:51
Gérard j'ai plutôt utilisé la dimension finie mais je vais réapprendre le cas de la dimension infinie qui est moins courant.

Noobey OK c'est juste que tout élément de E s'écrit comme combinaison finie d'éléments de G.
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 13:27
Mais OS, même en dimension finie, une partie génératrice peut être infinie. Par exemple une partie génératrice de (E,+,.) est E.
On a parlé de ce genre de choses il y a déjà deux ans sur un autre forum.
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 13:35
avatar
Citation
OShine

En fait même si E est de dimension infinie, une partie génératrice est toujours finie. (Si j'ai bien compris).

J’ai juste survolé le fil, mais ici tu mentionnes la dimension infinie.
Mais écrire ceci est en fait plus grave OShine, puisque:

1- Même en dimension finie, une partie génératrice peut-être infinie (prendre l’espace tout entier par exemple, auquel tu peux si tu le souhaites enlever autant de vecteurs que tu veux, il est évidemment générateur).
2- (Le plus grave) La finitude d’au moins une partie génératrice est justement ce qui permet de définir la dimension finie...
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 13:36
avatar
Pardon Gérard, je n’ai pas vu ta réponse.
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 14:59
Je n'ai pas compris l'exemple.

Si $E$ est de dimension finie, de quelle partie génératrice infinie parlez vous ?

On dit que $E$ est de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie. Dans le cas contraire, on dit que $E$ est de dimension infinie.
Re: Enveloppe convexe
05 juin 2021, 15:05
Encore une fois, tu mélanges tout, et tu te refuses à penser la situation en ayant appris les définitions.

"de quelle partie génératrice infinie parlez vous ? " Tu sais lire ? Relis, c'est dit. Et si $E$ est un espace vectoriel réel de dimension au moins 1, alors $E$ est infini (lis bien ce qui est écrit, je ne dis pas "de dimension finie", je dis "de cardinal infini". Tu as déjà fait la confusion il y a peu, tu n'apprends vraiment pas sérieusement de ce qu'on t'explique).

Exercice (niveau L1) : Démontrer que si $(E,+,.)$ est un espace vectoriel, $E$ est une partie génératrice de $E$.
Re: Enveloppe convexe
06 juin 2021, 15:01
Oui car par exemple une droite vectorielle contient une infinité d'éléments.

J'ai lu dans des rapports de concours qu'on parlait de dimension pour un espace vectoriel et de cardinal pour des familles, et que la confusion était fréquente.

Ma solution de l'exercice.

$G$ est une partie génératrice de $E$ si et seulement si $G \subset E$ et :

$\forall x \in E \ \ \exists n \in \N^{*} \ \ \exists (g_i)_{i \in [|1,n|]} \in G^n \ \exists (\lambda_i)_{i \in [|1,n|]} \in \K^n \ \ x=\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i g_i$

Ici on a bien $G \subset E$ et en choisissant $n=1$, $\lambda_1=1$ et $g_i=x$ on a $x= 1 \times x$.

Donc $E$ est une famille génératrice de $E$.
Re: Enveloppe convexe
06 juin 2021, 15:10
Plus concrètement, une partie est génératrice si on peut fabriquer tous les éléments de l'espace à partir des éléments de la partie et, éventuellement, + et .; donc dire que E engendre E est dire une évidence.
Ce qui te manque souvent est de savoir dire les choses de cette façon non rigoureuse, mais qui a du sens. Tu passe tellement de temps à examiner les détails que tu perds de vue le sens des mots.
Re: Enveloppe convexe
06 juin 2021, 15:20
Oui c'est vrai mais je voulais faire une démonstration pour l'exercice.
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