Enveloppe convexe

La coquille du livre sur la proposition 4 est une grosse coquille, il faudrait que je la signale aux auteurs.

D'accord merci Poirot, je m'en suis sorti en écrivant les choses. Pas de difficulté en effet.

Posons $B= \{ Vect( x_i) \ | \ x_i \in A \ | \ \lambda_i \geq 0 \ | \ \displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i =1 \}$

Montrons que $B$ est convexe. Pour cela, fixons $\lambda \in [0,1]$ et $(x,y) \in B^2$.

Ainsi il existe des scalaires $(\lambda_i)$ et $(\mu_i)$ tels que $x= \displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i $ et $y= \displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i y_i $ où $\forall i \in [|1,p|] \ x_i,y_i \in A$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i = \displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i =1$

Donc $\lambda x+(1-\lambda)y = \lambda bar( \lambda_i ,x_i) + (1-\lambda) bar(\beta_i,y_i)$ avec $\lambda+1-\lambda=1$

D'après la proposition $4$, $\lambda x+(1-\lambda)y$ est le barycentre des points $(\lambda_1,x_1), \cdots, (\lambda_p,x_p), (\beta_1,y_1), \cdots, (\beta_p,y_q)$ donc :

$\lambda x+(1-\lambda)y= \displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i +\displaystyle\sum_{i=1}^q \beta_i y_i \in Vect(x_i)+Vect(y_i)= \boxed{ Vect((x_i) \cup (y_i))}$

La famille $(x_i) \cup (y_i)$ étant une famille d'éléments de $A$, on en déduit que $\lambda x+(1-\lambda)y \in B$

Finalement $\boxed{\lambda x+(1-\lambda)y \in B}$ et $B$ est convexe.

Soit $x \in B$. Posons $x=\displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i$ avec les $x_i$ dans $A$.

Mais $Conv(A)$ contient $A$ donc les $x_i$ sont dans $Conv(A)$.

Ainsi, $x=\displaystyle\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \in Conv(A)$. On a montré $\boxed{B \subset Conv(A)}$.

Par contre, je ne suis pas sûr de comprendre à quoi sert l'hypothèse $E$ espace vectoriel de dimension finie.

Montrons que si $A$ et $B$ sont des parties de $E$, alors $Vect(A \cup =Vect(A)+Vect(B)$

Soit $x \in Vect(A \cup $. Alors $x=\displaystyle\sum_{u \in A} \lambda_u u + \displaystyle\sum_{v \in B \backslash A} \lambda_v v \in Vect(A)+Vect(B)$

Réciproquement, soit $x \in Vect(A)+Vect(B)$. Alors il existe $x_A \in A$ et $x_B \in B$ tels que $x=x_A+x_B$

Or $x_A=\displaystyle\sum_{u \in A} \lambda_u u$ et $x_B= \displaystyle\sum_{v \in B \backslash A} \lambda_v v$

D'où $x=\displaystyle\sum_{u \in A} \lambda_u u+\displaystyle\sum_{v \in B \backslash A} \lambda_v v$

Enfin $x=\displaystyle\sum_{w \in B \cup A} \lambda_w w \in Vect(A \cup $

Si $A$ est infini la somme diverge.

@Raoul.S

Non c'était le Grifone mais j'ai abandonné ce livre car les exercices n'étaient pas corrigés.
Je n'ai jamais envoyé d'erreurs sur le J'intègre. Il contient peu d'erreurs mais je trouve que celle-ci peut freiner à la compréhension et faire perdre du temps inutilement.
J'ai du perdre 10 min à me creuser la tête pour comprendre que ça n'avait pas de sens.

@Noobey
J'ai repris mon bouquin il y a un complément sur les familles et parties génératrices quelconques.

En fait même si $E$ est de dimension infinie, une partie génératrice est toujours finie. (Si j'ai bien compris).

$G$ est une partie génératrice de l'espace vectoriel $E$ si et seulement si $G \subset E$ et :

$\boxed{\forall x \in E \ \exists n \in \N^{*} \ \exists (g_i)_{i \in [|1,n|]} \in G^n \ \exists (\lambda_i)_{i \in [|1,n|]} \in \K^n \ \ x=\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i g_i}$

Or $Vect(A)$ est une partie génératrice de $A$ par définition.