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Dimension de Hausdorff

Envoyé par Nora-math 
Dimension de Hausdorff
04 juin 2021, 22:39
Bonsoir,
dans le pdf suivant à la page 12 [farhi.bakir.free.fr]
dans la preuve du théorème 9 l'auteur dit qu'il étudie le cas $A$ borné, que se passe-t-il si $A$ est non borné ?
Merci.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 05/06/2021 00:25 par AD.
Re: Dimension de Hausdorff
04 juin 2021, 22:48
avatar
Bonjour,
Soit $A$ non borné de mesure de Lebesgue non nulle. Il existe $R>0$ tel que $A\cap B(0,R)$ [édit : est de mesure de Lebesgue non nulle] (à toi de chercher pourquoi). On applique la preuve dans le cas borné à $A\cap B(0,R)$ et on utilise que $\dim_{\cal H}(A\cap B(0,R)) \leqslant \dim_{\cal H}A\leqslant n$ (à toi de chercher pourquoi ces inégalités sont vraies).



Modifié 1 fois. Dernière modification le 05/06/2021 00:41 par Calli.
Re: Dimension de Hausdorff
04 juin 2021, 23:21
tel que $A\cap B(0,r)$ quoi ?
Re: Dimension de Hausdorff
04 juin 2021, 23:27
avatar
Bonne question. A ton avis nora?

Signature: Je suis de passage .
Re: Dimension de Hausdorff
04 juin 2021, 23:43
tel que $A\cap B(0,R)$ soit borné ?? mais ça c'est toujours vrai puisque les boules sont bornés !!
Re: Dimension de Hausdorff
05 juin 2021, 00:02
avatar
C’est en effet évident, et cela tombe bien, non?
Mais on cherche à lui faire appliquer un théorème, tu te souviens? Et ce théorème demande quelque chose...
Re: Dimension de Hausdorff
05 juin 2021, 00:15
avatar
Mais non ibni ce n'est pas ça

Signature: Je suis de passage .
Re: Dimension de Hausdorff
05 juin 2021, 00:32
avatar
Ah bon, et qu’est-ce que tu voudrais mettre gebrane?
Je connaissais la propriété pour un ouvert non vide $O$ de $\R^n$. Et la démonstration est basée sur le même principe, un ouvert non vide contient une boule ouverte et sa dimension de Hausdorff est égale à $n$, on a donc que la dimension de Hausdorff de $O$ est $\geq n$, d’où le résultat (puisque par croissance de la mesure de Hausdorff, on a l’inégalité dans l’autre sens).
Re: Dimension de Hausdorff
05 juin 2021, 00:34
avatar
Nora, pour te remettre dans les rails, pourquoi il existe R>0 tel que $A\cap B(0,R)$ est de mesure de Lebesgue non nul

Signature: Je suis de passage .
Re: Dimension de Hausdorff
05 juin 2021, 00:39
avatar
Citation
Ibni

Et ce théorème demande quelque chose...

Puis

Citation
gebrane

Mais non ce n’est pas ça

Puis

Citation
gebrane
Pourquoi (...) est de mesure de Lebesgue non nulle

Esprit de contradiction...
Re: Dimension de Hausdorff
05 juin 2021, 00:40
avatar
Oups. C'était "tel que $A\cap B(0,R)$ est de mesure de Lebesgue non nulle".
Re: Dimension de Hausdorff
05 juin 2021, 11:20
avatar
Bonjour,

en lisant la démonstration du lemme, je lis "les projections font diminuer le diamètre". Je ne pense pas que ça soit vrai tout le temps.
Re: Dimension de Hausdorff
08 juin 2021, 15:21
avatar
Amédé : En général, effectivement non. Le pdf dit ça à propos des projections sur les coordonnées de $\Bbb R^n$, qui font bien diminuer le diamètre car elles sont 1-lipschitziennes. L'auteur du pdf aurait dû parler de projections orthogonales.

Au passage, Nora-math ne remercie pas les personnes qui lui ont répondu. Ce n'est pas bien. S'il y a des choses qui ne restent pas claires, il faut le dire.
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