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Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock

Envoyé par gebrane 
Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 06:50
avatar
Soit la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x)
= \begin{cases}
n & x=1/n \\
0 & \text{ sinon} \\
\end{cases}$
$f$ est-elle intégrable au sens de R ? au sens de L ? au sens de HS KH ?
Une dédicace pour ev.

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 07/06/2021 11:28 par AD.
MrJ
Re: R, L et HS
07 juin 2021, 06:58
Une fonction Riemann intégrable est bornée, donc non. La fonction est presque partout nulle, donc elle est intégrale au sens de Lebesgue. Je ne sais pas ce que c’est HS.
Re: R, L et HS
07 juin 2021, 09:30
Bonjour.

HS : Hors Service, déféctueux
KH : Kurzweil-Henstock.

Cordialement.

NB : Gebrane, pense à rajouter le "si" dans la définition de $f$.
Re: R, L et HS
07 juin 2021, 10:58
Et $\forall x \in [0,1]$ tongue sticking out smiley
ev
Re: Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 11:39
avatar
Bonjour Gebrane, bonjour à tous.

$f$ est KH-intégrable pour deux raisons, la première plus élémentaire que la seconde :
1/ elle est nulle sauf sur un ensemble dénombrable.
2/ elle est intégrable au sens de Lebesgue.

Amicalement,

e.v.

$\displaystyle \varepsilon (\sigma )=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}$
Dom
Re: Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 13:36
Qui est $n$ ?
C’est un entier fixe au départ ?

Si c’est le cas, c’est une fonction en escalier. Quel est le problème ?

Édit : je comprends que ce n’est pas le cas.
Dis-moi, mon cher gebrane, tu nous as habitué à des énoncés plus propres, non ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 07/06/2021 13:37 par Dom.
Re: Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 13:57
avatar
C'est un abus de mon correcteur automatique , bien sûr c' est KH au lieu de HS.
Dom f (1/3)=3, f (2/3)=0, f ($\sqrt 2$ /2)=0 .....

Signature: Je suis de passage .
ev
Re: Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 14:09
avatar
La fonction $f$ est continue, sauf sur un ensemble de mesure nulle. Pour autant elle n'est pas Riemann intégrable.

@AD et Gebrane.

Avec moi le titre aurait été :
"Riemann, Lebesgue and Sometimes Kurzweil-Henstock"

Amicalement,
e.v.

$\displaystyle \varepsilon (\sigma )=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 07/06/2021 14:30 par AD.
Dom
Re: Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 14:45
Ok.
C'était quand même quantifié n'importe comment, enfin... non quantifié...

Dans ce cas elle n'est pas intégrable au sens de Riemann, en effet.
Re: Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 15:29
avatar
DOM
C'est bien quantifié si on comprend le même français :

f définie sur [0,1] par f(x) = blabla

signifie pour le commun des mortels

$\forall x\in $ [0,1] , f(x)= blabla

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 07/06/2021 15:35 par gebrane.
Re: Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 16:51
C'est sur n qu'il faut imaginer une quantification ("$\exists n \in \mathbb N,\ x=\frac 1 n$").

Cordialement.
Dom
Re: Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 17:01
Mais oui voyons, on ne sait pas si c'est :

1) Soit n, on pose f(x) = ...

2) la fonction que tu as dans la tête.

J'ai bien compris pour le $x$.

Reconnais-le que c'est mal dit (sans problème de langue d'ailleurs) winking smiley
Re: Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock
07 juin 2021, 17:28
avatar
Bon, pour ces deux questions matinales ma cible était ev, j'aime bien sa quette sur KH.

Signature: Je suis de passage .
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