L'intégrale impropre est possible
dans Analyse
Bonjour,
Étudier la convergence de l'intégrale et déterminer la valeur de l'intégrale impropre si est possible
$$
\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(x^{n})}{x^{n}}{\rm d}x,
$$ avec $n$ un entier natural donné.
Merci.
Étudier la convergence de l'intégrale et déterminer la valeur de l'intégrale impropre si est possible
$$
\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(x^{n})}{x^{n}}{\rm d}x,
$$ avec $n$ un entier natural donné.
Merci.
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Réponses
pour $n = 1$ ton intégrale diverge sur la borne inférieure
et pour $n > 1$ elle divergera pareillement.
Par contre pour $a$ paramètre réel compris entre $0$ et $1$, l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}\frac{\cos(t^a)}{t^a}dt $ converge.
En particulier $\int_0^{+\infty}\frac{\cos\sqrt{t}}{\sqrt{t}}dt = \sqrt{2}.$
Et d'une façon générale d'après les applications intégrales de la fonction eulérienne Gamma,
pour $0 < a < 1$ on obtient :
$$
\int_0^{+\infty}\frac{\cos(t^a)}{t^a}dt = \frac{1}{a}\sin\frac{\pi}{2a}\Gamma\Big(\frac{1}{a}-1\Big).
$$ Cordialement.