Valeurs de $\zeta_{p}(-n)$

Bonjour

tu pars de l'équation fonctionnelle de Riemann (avec Z(x) fonction Zéta) :

$Z(1 - x) = \frac{2\Gamma(x)}{(2\pi)^x}Z(x).cos\frac{\pi.x}{2}$ avec $\Gamma(x)$ fonction Gamma d'Euler

pour x = 2n+1 tu constates que les $Z(-2n)$ sont tous nuls à partir de $Z(- 2)$ mais (Z(0) = - 1/2)

et pour x = 2n il vient : $Z(1-2n) = \frac{(-1)^n.\Gamma(2n)}{(2n)^{2n}}Z(2n)$

pour répondre à ta question : les $Z(- p)$ sont tous nuls lorsque p est pair à partir de Z(-2)

et lorsque p est impair les Z(- p) sont tous fractionnaires alternés de signe et liés effectivement aux nombres de Bernoulli
par exemple Z(-1) = -1/12 ; Z(-3) = 1/120 ; Z(-5) = - 1/252 ; Z(-7) = 1/240

tu en déduis que $Z(2p)$ sont liés aux nombres de Bernoulli successifs et aussi aux puissances pairs de $\pi$

par contre les $Z(2p+1)$ restent mystérieux mais en dérivant membre à membre la relation fonctionnelle de Riemann

tu constates que pour x = 2p - 1 il vient la relation différentielle : $$Z(2p+1) = (-1)^{p-1}\frac{2(2p)^{2p}}{(2p)!}.Z'(-2p)$$

les nombres dérivés de Zéta pour les entiers pairs négatifs sont liés à une succession de nombres qui restent à découvrir
et qui permettraient de lever le mystère des images par Zéta des entiers impairs positifs.

Cordialement