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Une super intégrale

Envoyé par Quentino37 
Une super intégrale
16 juin 2021, 21:53
$\newcommand{\Res}{\operatorname{Res}}$Bonjour! J'ai essayé de calculer l'intégrale suivante. $\quad \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx .$

Voici mes calculs.
Les pôles de $\displaystyle \frac{1}{1+x^{6}}$ sont $\displaystyle e^{\frac{i}{6}\pi} ; e^{\frac{3i}{6}\pi} ; e^{\frac{5i}{6}\pi} ; e^{\frac{7i}{6}\pi} ; e^{\frac{9i}{6}\pi}; e^{\frac{11i}{6}\pi}$.
Les pôles de partie imaginaire positive sont $\displaystyle e^{\frac{i}{6}\pi} ; e^{\frac{3i}{6}\pi} ; e^{\frac{5i}{6}\pi} $.

Donc d'après le théorème des résidus on à $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx = 2i\pi\Big(\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}}, e^{\frac{i}{6}\pi}\big)+\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}}, e^{\frac{3i}{6}\pi}\big)+\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}},e^{\frac{5i}{6}\pi}\big)\Big)$
$\displaystyle =\frac{i\pi}{3}\Big( e^{-\frac{5i}{6}\pi} + e^{-\frac{3i}{6}\pi} + e^{-\frac{i}{6}\pi} \Big)=\frac{i\pi}{3}\Big(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}+0-i+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\Big)=\frac{i\pi}{3}×(-2i)=\frac{2\pi}{3}$

On à donc finalement (sauf erreur) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx= \frac{2\pi}{3}$.
Et $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx= \frac{\pi}{3}$.

La question est : est ce que je me suis trompé ?

PS : c'est un truc génial le théorème des résidus.

Signature : Je n'aime pas les signatures sur un forum



Modifié 2 fois. Dernière modification le 16/06/2021 22:17 par AD.
Re: Une super intégrale
16 juin 2021, 22:15
avatar
La dernière égalité est numériquement correcte.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une super intégrale
16 juin 2021, 22:18
Merci Fdp (et les autres sont vrai? j'espère...)

Signature : Je n'aime pas les signatures sur un forum
Re: Une super intégrale
16 juin 2021, 22:26
avatar
\begin{align}J&=\int_0^\infty \frac{1}{1+x^6}dx\\
&\overset{y=x^6}=\frac{1}{6}\int_0^\infty \frac{y^{\frac{1}{6}-1}}{1+y}dy\\
&=\frac{1}{6}\text{B}\left(\frac{1}{6},\frac{5}{6}\right)\\
&=\frac{1}{6}\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{6}\right)\\
&=\frac{1}{6}\times \dfrac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}\\
&=\boxed{\dfrac{\pi}{3}}
\end{align}

NB: $\text{B}$ est la fonction bêta d'Euler.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 10:02
avatar
Quentino37 Si j’étais ton prof, ta rédaction mérite un 0 et ne me demande pas pourquoi

Signature: Je suis de passage .
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 10:06
Bonjour,

Gébrane, tu exagères, surtout pour un élève de 4ème.

Cordialement,

Rescassol
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 10:08
avatar
Pourquoi?

1)Quel contour est utilisé?
2)Dans ce type de calcul il y a des passages à la limite et il faut justifier pourquoi certaines intégrales vont tendre vers $0$.
3)Déterminer les pôles de la fonction à laquelle on veut appliquer le théorème de Cauchy.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 10:11
avatar
Rescassol:

Même si on ne maîtrise pas une technique il vaut mieux savoir qu'il y a un "mode d'emploi" qu'il faut respecter si on veut être sûr d'un résultat. Autrement on est dans l'à peu-près.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/06/2021 10:12 par Fin de partie.
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 10:14
Hum j'ai du mal à voir en quoi la rédaction mérite 0 ? confused smiley
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 10:15
Bonjour,

Oui, d'accord avec tout ça, mais c'est quand même un bon début.

Cordialement,

Rescassol
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 10:37
En quoi la rédaction de Quentino est-elle en défaut ? Le thm des résidus est en général accompagné de cas particuliers pour lesquels on applique directement une formule sans détailler, ni le contour, ni les limites. Tout au plus eût-il fallu préciser que le polynôme est réel, sans zéros réels, et de degré $\geqslant2$, et que le domaine d'intégration est $\R$. Mais je mettrais plutôt $0$ à qui appliquerait la formule dans un cas où elle ne s'applique pas.

À noter que, pour nos polynômes, il est inutile d'invoquer les mânes de Cauchy puisqu'un calcul simple permet de calculer la limite quand $X\to+\infty$ de $\displaystyle\int_{-X}^X\frac{{\rm d}t}{t-z}$ lorsque $z\not\in\R$ (ah non, pas de $\ln$, mais séparer $\Re$ et $\Im$).
ev
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 10:59
avatar
La formule des résidus évoquée par john_john - que je salue - pousse dans Le jardin d'Eiden entre les pages 347 et 351.

e.v.

$\displaystyle \varepsilon (\sigma )=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}$
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 11:05
avatar
Si on fait appel à des théorèmes "exotiques" qu'une petite poignée d'érudits connaissent... Après, on peut aussi considérer que connaître la valeur de cette intégrale est un devoir pour une honnête personne etc.

PS:
J'ai montré plus haut qu'avec quelques connaissances en analyse réelle on n'avait pas besoin d'analyse complexe pour faire ce calcul.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Modifié 2 fois. Dernière modification le 17/06/2021 11:08 par Fin de partie.
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 15:46
Bonjour, ev ! Je te salue moi aussi et t'encourage à persévérer dans tes excellentes lectures thumbs down
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 18:08
J'avoue que ce n'est pas très bien rédigé(et je ne demanderais pas pourquoi)! Est-ce que quelqu'un pourrait me montrer comment on le rédigerait bien s'il vous plait? Je lui en serait très reconnaissant!

Signature : Je n'aime pas les signatures sur un forum
Re: Une super intégrale
17 juin 2021, 18:57
avatar
Il y a un théorème spécifique de calcul d'intégrales de fonctions rationnelles au moyen des résidus, sans théorie générale des fonctions de variable complexe, et sans contour. J'en ai parlé ici : [www.les-mathematiques.net]. C'est aussi exposé dans le Gourdon d'Analyse.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/06/2021 08:01 par Chaurien.
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