Une super intégrale
dans Analyse
$\newcommand{\Res}{\operatorname{Res}}$Bonjour! J'ai essayé de calculer l'intégrale suivante. $\quad \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx .$
Voici mes calculs.
Les pôles de $\displaystyle \frac{1}{1+x^{6}}$ sont $\displaystyle e^{\frac{i}{6}\pi} ; e^{\frac{3i}{6}\pi} ; e^{\frac{5i}{6}\pi} ; e^{\frac{7i}{6}\pi} ; e^{\frac{9i}{6}\pi}; e^{\frac{11i}{6}\pi}$.
Les pôles de partie imaginaire positive sont $\displaystyle e^{\frac{i}{6}\pi} ; e^{\frac{3i}{6}\pi} ; e^{\frac{5i}{6}\pi} $.
Donc d'après le théorème des résidus on à $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx = 2i\pi\Big(\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}}, e^{\frac{i}{6}\pi}\big)+\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}}, e^{\frac{3i}{6}\pi}\big)+\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}},e^{\frac{5i}{6}\pi}\big)\Big)$
$\displaystyle =\frac{i\pi}{3}\Big( e^{-\frac{5i}{6}\pi} + e^{-\frac{3i}{6}\pi} + e^{-\frac{i}{6}\pi} \Big)=\frac{i\pi}{3}\Big(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}+0-i+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\Big)=\frac{i\pi}{3}×(-2i)=\frac{2\pi}{3}$
On à donc finalement (sauf erreur) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx= \frac{2\pi}{3}$.
Et $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx= \frac{\pi}{3}$.
La question est : est ce que je me suis trompé ?
PS : c'est un truc génial le théorème des résidus.
Voici mes calculs.
Les pôles de $\displaystyle \frac{1}{1+x^{6}}$ sont $\displaystyle e^{\frac{i}{6}\pi} ; e^{\frac{3i}{6}\pi} ; e^{\frac{5i}{6}\pi} ; e^{\frac{7i}{6}\pi} ; e^{\frac{9i}{6}\pi}; e^{\frac{11i}{6}\pi}$.
Les pôles de partie imaginaire positive sont $\displaystyle e^{\frac{i}{6}\pi} ; e^{\frac{3i}{6}\pi} ; e^{\frac{5i}{6}\pi} $.
Donc d'après le théorème des résidus on à $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx = 2i\pi\Big(\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}}, e^{\frac{i}{6}\pi}\big)+\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}}, e^{\frac{3i}{6}\pi}\big)+\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}},e^{\frac{5i}{6}\pi}\big)\Big)$
$\displaystyle =\frac{i\pi}{3}\Big( e^{-\frac{5i}{6}\pi} + e^{-\frac{3i}{6}\pi} + e^{-\frac{i}{6}\pi} \Big)=\frac{i\pi}{3}\Big(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}+0-i+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\Big)=\frac{i\pi}{3}×(-2i)=\frac{2\pi}{3}$
On à donc finalement (sauf erreur) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx= \frac{2\pi}{3}$.
Et $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx= \frac{\pi}{3}$.
La question est : est ce que je me suis trompé ?
PS : c'est un truc génial le théorème des résidus.
Je suis donc je pense
Réponses
-
La dernière égalité est numériquement correcte.
-
Merci Fdp (et les autres sont vrai? j'espère...)Je suis donc je pense
-
\begin{align}J&=\int_0^\infty \frac{1}{1+x^6}dx\\
&\overset{y=x^6}=\frac{1}{6}\int_0^\infty \frac{y^{\frac{1}{6}-1}}{1+y}dy\\
&=\frac{1}{6}\text{B}\left(\frac{1}{6},\frac{5}{6}\right)\\
&=\frac{1}{6}\Gamma\left(\frac{1}{6}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{6}\right)\\
&=\frac{1}{6}\times \dfrac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}\\
&=\boxed{\dfrac{\pi}{3}}
\end{align}
NB: $\text{B}$ est la fonction bêta d'Euler. -
Quentino37 Si j’étais ton prof, ta rédaction mérite un 0 et ne me demande pas pourquoiLe 😄 Farceur
-
Bonjour,
Gébrane, tu exagères, surtout pour un élève de 4ème.
Cordialement,
Rescassol -
Pourquoi?
1)Quel contour est utilisé?
2)Dans ce type de calcul il y a des passages à la limite et il faut justifier pourquoi certaines intégrales vont tendre vers $0$.
3)Déterminer les pôles de la fonction à laquelle on veut appliquer le théorème de Cauchy. -
Rescassol:
Même si on ne maîtrise pas une technique il vaut mieux savoir qu'il y a un "mode d'emploi" qu'il faut respecter si on veut être sûr d'un résultat. Autrement on est dans l'à peu-près. -
Hum j'ai du mal à voir en quoi la rédaction mérite 0 ? :-S
-
Bonjour,
Oui, d'accord avec tout ça, mais c'est quand même un bon début.
Cordialement,
Rescassol -
En quoi la rédaction de Quentino est-elle en défaut ? Le thm des résidus est en général accompagné de cas particuliers pour lesquels on applique directement une formule sans détailler, ni le contour, ni les limites. Tout au plus eût-il fallu préciser que le polynôme est réel, sans zéros réels, et de degré $\geqslant2$, et que le domaine d'intégration est $\R$. Mais je mettrais plutôt $0$ à qui appliquerait la formule dans un cas où elle ne s'applique pas.
À noter que, pour nos polynômes, il est inutile d'invoquer les mânes de Cauchy puisqu'un calcul simple permet de calculer la limite quand $X\to+\infty$ de $\displaystyle\int_{-X}^X\frac{{\rm d}t}{t-z}$ lorsque $z\not\in\R$ (ah non, pas de $\ln$, mais séparer $\Re$ et $\Im$). -
La formule des résidus évoquée par john_john - que je salue - pousse dans Le jardin d'Eiden entre les pages 347 et 351.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Si on fait appel à des théorèmes "exotiques" qu'une petite poignée d'érudits connaissent... Après, on peut aussi considérer que connaître la valeur de cette intégrale est un devoir pour une honnête personne etc.
PS:
J'ai montré plus haut qu'avec quelques connaissances en analyse réelle on n'avait pas besoin d'analyse complexe pour faire ce calcul. -
Bonjour, ev ! Je te salue moi aussi et t'encourage à persévérer dans tes excellentes lectures (tu)
-
J'avoue que ce n'est pas très bien rédigé(et je ne demanderais pas pourquoi)! Est-ce que quelqu'un pourrait me montrer comment on le rédigerait bien s'il vous plait? Je lui en serait très reconnaissant!Je suis donc je pense
-
Il y a un théorème spécifique de calcul d'intégrales de fonctions rationnelles au moyen des résidus, sans théorie générale des fonctions de variable complexe, et sans contour. J'en ai parlé ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1166453,1166559#msg-1166559. C'est aussi exposé dans le Gourdon d'Analyse.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres