Une super intégrale

$\newcommand{\Res}{\operatorname{Res}}$Bonjour! J'ai essayé de calculer l'intégrale suivante. $\quad \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx .$

Voici mes calculs.
Les pôles de $\displaystyle \frac{1}{1+x^{6}}$ sont $\displaystyle e^{\frac{i}{6}\pi} ; e^{\frac{3i}{6}\pi} ; e^{\frac{5i}{6}\pi} ; e^{\frac{7i}{6}\pi} ; e^{\frac{9i}{6}\pi}; e^{\frac{11i}{6}\pi}$.
Les pôles de partie imaginaire positive sont $\displaystyle e^{\frac{i}{6}\pi} ; e^{\frac{3i}{6}\pi} ; e^{\frac{5i}{6}\pi} $.

Donc d'après le théorème des résidus on à $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx = 2i\pi\Big(\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}}, e^{\frac{i}{6}\pi}\big)+\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}}, e^{\frac{3i}{6}\pi}\big)+\Res\big(\frac{1}{1+x^{6}},e^{\frac{5i}{6}\pi}\big)\Big)$
$\displaystyle =\frac{i\pi}{3}\Big( e^{-\frac{5i}{6}\pi} + e^{-\frac{3i}{6}\pi} + e^{-\frac{i}{6}\pi} \Big)=\frac{i\pi}{3}\Big(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}+0-i+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\Big)=\frac{i\pi}{3}×(-2i)=\frac{2\pi}{3}$

On à donc finalement (sauf erreur) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx= \frac{2\pi}{3}$.
Et $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{6}}dx= \frac{\pi}{3}$.

La question est : est ce que je me suis trompé ?

PS : c'est un truc génial le théorème des résidus.