Suite numérique pour OShine
Réponses
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Noobey la réponse est faux.
Soit la suite définie par $u_n=n+2 \cos(n)$ On a $u_n \geq n-2$ donc la suite diverge vers $+\infty$
Notons $\varphi : \N \longrightarrow \N \\ n \mapsto n+1$ qui est une application strictement croissante.
La suite $(u_{\varphi(n)})$ n'est pas strictement croissante $u_1 = 1+2 \cos(1) >u_2 = 2+2 \cos(2)$. -
Trop fort :)o Tu as bien lu la question plusieurs fois ?
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Belle sous-suite que $(u_{n+1})_n$, il fallait y penser !
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@OShine noobey te demande s'il existe toujours une sous-suite strictement croissante pas si toutes les sous-suites sont strictement croissantes...
PS. il faut dire que noobey a un don pour trouver les bons énoncés pour OShine. Je ne sais pas c'est magique, tu lis son énoncé et tu sais déjà qu'OShine va se prendre les pieds dans le tapis. -
D'accord merci. L'exercice est plus compliqué que ce que je pensais, j'y ai réfléchi un peu depuis le début d'après-midi je cherchais absolument des contre-exemples.
La réponse est vraie je crois.
Comme $(u_n)$ tend vers $+\infty$, elle n'est pas majorée. Il existe donc un entier tel que $u_n >0$.
Notons $\varphi(0) = \min \{ n \in \N \mid u_n >0 \}$.
De plus, il existe un entier tel que $u_n > u_{\varphi_0}$. Notons $\varphi(1) $ le plus petit entier tel que $u_{\varphi_n} > u_{\varphi_0}$.
Par itération, on construit une suite strictement croissante $(u_{\varphi_n})$ telle que $u_{\varphi_0} < u_{\varphi_1} < \cdots < u_{\varphi_n}$
Mais je n'arrive pas à démontrer que : $\varphi(0) < \varphi(1) < \cdots < \varphi(n)$ :-S -
C'est normal, c'est faux en général.
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@Poirot : Même si sa construction n'est pas intuitive, il est vrai que $\varphi$ ainsi construite est strictement croissante. (argument d'inclusion des ensembles qui implique une inégalité entre les minima de ces ensembles)
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Tu y es presque OShine, corrige un détail dans la définition de ta suite et on y est !
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Oui je pense que dans ma construction je dois ajouter un détail pour rendre $\varphi$ croissante.
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bonjour,
tu peux commencer par ça: On suppose que $(u_n) _{n\in\N}$ n'est pas majorée. Montrer qu'elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$. -
Le plus intuitif serait de changer la définition de $\varphi$, mais je répète que ça n'est pas nécessaire car $\varphi$ est ici strictement croissante.
Rappel : $\varphi$ est construite par récurrence en posant pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $\varphi(n)=\min\{k\in\mathbb{N}\mid u_k>u_{\varphi(n-1)}\}$, donc par définition, pour tout $n\in\mathbb{N}^*,\ u_{\varphi(n+1)}>u_{\varphi(n)}>u_{\varphi(n-1)}$, et donc $\varphi(n+1)\in\{k\in\mathbb{N}\mid u_k>u_{\varphi(n-1)}\}$. -
Le problème vient de la croissance des indices qui n'est pas forcement respectée. Il faut changer un détail.
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Un exemple où cette croissance ne serait pas respectée ? ::o
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Je me suis mal exprimé, elle n'est pas respectée a priori uniquement avec sa définition, ce qui implique qu'il faut une preuve. Changer le petit détail est de toute manière intéressant pédagogiquement puisqu'on utilise toujours ce genre de construction lorsqu'il s'agit de suites extraites plus ou moins explicites.
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Je suis d'accord
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@Amédé
Ta question n'est pas la même que celle de Noobey.
Soit $N \in \N$.
Montrons que si $(u_n)$ est non majorée alors la suite $(u_n)_{n \geq N}$ l'est aussi.
Si $u$, n'est pas majorée, alors $\forall M \in \R$, $\exists n \in \N$ tel que $u_n > M$
Je n'arrive pas à la démontrer donc je l'utilise.
Comme la suite $u$ n'est pas majorée, elle n'est pas majorée par $0$. On peut fixer $\varphi(0) \in \N$ telle que $u_{\varphi(0)} >0$.
Supposons construis $\varphi(0) < \varphi(1) < \cdots < \varphi(n)$ et $\forall k \in [|0,n|] \ u_{\varphi(k)} \geq k$ et $ u_{\varphi(k+1)} \geq u_{\varphi(k)} $
La suite $(u_m)_{m \geq \varphi(n)+1}$ n'est pas majorée par $n+1$ donc il existe $p \in \N$ tel que $p > \varphi(n)$ et $u_p \geq n+1$ et $u_p > \varphi(n)$
Fixons $\varphi(n+1)$ une telle valeur de $p$.
On a construit une suite strictement croissante $v_n=u_{\varphi(n)}$ telle que $v_n >n$ pour tout $n$. En particulier, $(v_n)$ tend vers $+\infty$. -
Je passe juste faire un petit bonjour à OS. Je n'ai lu que les deux premiers posts, mais merci OS de m'avoir fait rire à ce point quand j'ai vu que (parce que là, c'est vraiment clairement volontaire) que tu continues ta grève des quantificateurs avec une détermination qui rendrait pale de jalousie les plus fervents idéologues marxistes qui manifestent parfois dans le rues.
Si tu arrives un jour à faire des maths en mettant du blanco sur tous les quantificateurs, préviens-moi, a vaut des centaines de milliards.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Oulah c'est probablement le message le plus catastrophique que tu aies réussi à créer OShine.
Commence déjà par prouver le truc que tu ne sais pas montrer. Franchement c'est gravissime de pas pouvoir pondre cette preuve enfantine.
Et jette le reste du message à la poubelle, ne le relis jamais, oublie-le, il pourrait te rendre encore plus mauvais en maths. Il y a à la fois du superflu qui semble témoigner d'une mauvaise connaissance des théorèmes de convergence et confusion entre les indices et la suite. -
OS: Dans ton exemple $u_{n}=n+2cos(n)$ (pourquoi 2?) en dessinant sur geogebra on arrive bien a voir qu'on peut extraire une sous suite strictement croissante.
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Je vais être un peu plus direct que les autres.
La suite $(u_n)_{n \geqslant N}$, c'est quoi pour toi ? -
Et y'a 2 jours, il me dit "quel intérêt de faire des exos de lycée pour avoir l'agreg ?". Ben l'intérêt, c'est de commencer à pas être trop nul sur la logique et sur les suites, ça peut servir pour le concours de la fonction publique qui nécessite le plus de connaissances en maths de notre pays.
Sinon, moi, je te conseillerais bien d'aller planter des patates quand même. Et dire qu'avec les vacances d'été, tu vas nous pondre des horreurs pareilles fois 10... -
Tu ne vois pas le lien entre la question de départ de noobey et ce qu'a dit Amédé ?
Pour rappel, noobey demandait : si $(u_n)_n$ est une suite réelle qui tend vers $+\infty$, admet-elle forcément une sous-suite strictement croissante ?
Et Amédé te proposait de commencer par montrer : si $(u_n)_n$ est une suite réelle non majorée, montre qu'elle admet une sous-suite qui tend vers $+\infty$.
Si tu ne vois pas le rapport, je t'interdis de continuer à affirmer que tu connais tous les théorèmes de sup sur les suites. -
Ah ! Bon, puisque tu sais effectivement ce que veut dire $(u_n)_{n \geqslant N}$, tu dois être en mesure de démontrer que si $(u_n)_n$ est non majorée, alors $(u_n)_{n \geqslant N}$ n'est pas majorée non plus.
Je te donne un indice très précieux : le raisonnement prend une ligne. -
Une suite qui tend vers plus l'infini n'est pas forcément strictement croissante.
Ok Homo topi.
$(u_n)$ est non majorée : $\forall M \in \R \ \ \exists n \in \N \ u_n >M$ (1)
$(u_n)_{n \geq N}$ est non majorée : $\forall M \in \R \ \ \exists n \geq N \ u_n >M$ (2)
Je ne sais pas démontrer que $(1) \implies (2)$. J'ai cherché depuis hier. -
Toute suite finie est majorée par son plus grand terme. Et la suite des termes de $u_0$ à $u_{N-1}$ est finie.
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Bravo Ibni, tu viens de donner une excuse à OShine pour dire qu'il a compris sans travailler ! C'est très constructif.
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HT, es-tu certain que c’est un coup de pouce pour lui?
Je n’en suis pas sûr... -
Bien sûr, il n'aura pas travaillé, donc il n'aura pas une vraie compréhension du truc. Mais il aura l'impression d'avoir compris, ça lui suffira pour vouloir avancer dans le problème sans revenir en arrière. Il n'écoute aucune critique (il ne réagira pas à ce commentaire, on parie ?) donc lui donner un élément de réponse, que ce soit un coup de pouce pour lui ou non, c'est mauvais. Je pense que c'est mieux de lui faire trouver les choses majoritairement par lui-même.
L'exercice, de niveau L1, est déjà bien assez dur pour lui puisqu'il n'a pas le corrigé sous la main. A voir quand il lui viendra l'idée de poser l'exo sur un autre forum et de recopier les réponses qu'ils lui donneront ici pour faire semblant d'avoir travaillé. Dans l'autre fil, il dit avoir passé 2 jours à réfléchir à une question que je lui ai posée il y a quelques heures seulement... -
Pour me rattraper HT, j’ajoute une question à celle de noobey.
Si $(u_n)_{n \in \N}$ tend vers $0$, il existe $N$ tel que $(u_n)_{n\geq N}$ soit décroissante. Vrai ou faux? -
Ok je n'avais pas pensé à utiliser la contraposée.
Si $(u_n)_{n \geq N}$ est majorée alors $(u_n)$ est majorée ça je le sais. C'est évident.
Homo Topi j'ai passé 1 jour et demi à chercher (30 min par ci et par là en pause entre les cours) l'exo de Noobey et apparemment j'ai toujours rien compris.
Exo de L1 oui mais combien de personnes le réussiraient à un écrit ? Je pense que moins de 20 % des candidats. Il n'est pas si simple. -
C'est évident, mais de ta part, ça mériterait une preuve. D'ailleurs, démontrer le truc en sens direct, sans contraposée, ce n'est pas compliqué non plus et ça utilise des choses très importantes qui ne sont apparemment pas claires pour toi. Alors essaie de le faire quand même.
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OShine tu te rends compte qu'on ne sait pas ce que tu veux montrer dans ton dernier message ? Tu réponds à noobey ou Amédé ?
J'opte pour ce dernier. Alors quel intérêt de construire une suite strictement croissante alors que tu as déjà qu'elle vérifie $u_{\phi(k)} \geq k$ ?
C'est là que je dis que tu mélanges les théorèmes dans ta tête. En soi montrer quelque chose de superflu n'est pas très grave tant que ça reste juste. Sauf qu'on te connaît et qu'on n'a aucune confiance en toi. Je parie cher que si tu as voulu la croissance c'est que tu as vaguement mélangé avec un théorème de convergence monotone.
Et bordel, ne pas réussir à montrer ton petit truc, ça me fait gonfler la carotide. Brrrrrr. -
Moins de 20% des candidats... tu sous-estimes les étudiants en mathématiques OShine... En tout cas c'est très bien de faire ce genre d'exos, je pense que tu progresseras beaucoup plus rapidement avec ces exos qu'en faisant des sujets Centrale. En fait, ce sont des exercices qui apprennent à écrire en mathématiques, ce qui te permettra d'optimiser tes raisonnements.
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OShine, je te jure que 98% des candidats (les non touristes en gros) réussiraient, et même à CCP.
De plus tu te mets à parler comme un rapport de concours tellement tu t'obstines à lire des corrigés en boucle. -
Moi j'attends avec impatience la résolution de l'exo de Ibni ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2263866,2264520#msg-2264520 (:D
Mais ne soyons pas hâtifs, d'abord terminer celui de noobey... -
C'est tellement fort émotionnellement qu'on a envie de lui donner la réponse... Mais tenons bon!
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Riemann il n'y a besoin d'aucun théorème pour faire l'exercice.
Il faut juste connaître la définition d'une suite extraite.
Le sujet centrale PC, au moins je réussis une question sur deux sur la partie 2, il y a plusieurs questions accessibles et le sujet est bien dirigé. Ca m'encourage à le terminer. -
Je ne sais pas démontrer que si $(u_n)$ est non majorée alors $(u_n)_{n \geq N}$ est non majorée. Je n'ai pas trouvé.
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Mais tu n'as rien compris à mon reproche, pourtant mon message est clair, c'est très agaçant.
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Comme toujours, c'est sur des questions de niveau lycée, où il suffit de traduire intelligemment, que OS bloque. C'est normal, ce n'est pas dans "son bouquin" ni dans un corrigé de concours qu'il a lu.
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Par exemple si N=1 ou 2 tu sais comment procéder ?
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OShine : quand tu auras réussi à produire un truc (pour la question de $(u_n)_{n \geqslant N}$ non majorée), je te donnerai 2-3 choses à savoir. En attendant, si tu n'arrives pas le cas général, l'indication de RLC de poser $N=1$ ou $2$ est déjà un début. Autre indication : fais un dessin !
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Je sais que c'est évident sur un dessin mais je n'arrive pas à le démontrer avec les quantificateurs.
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Bonjour
Dans le même esprit on peut aussi poser cette question:
Soit une suite $(u_n)_{n\in \N}$ dont les termes sont tous positifs et telle que la suite converge vers 0.
1. Donner un exemple d'une telle suite qui soit non décroissante à partir de n'importe quel rang (si une telle suite existe) .
2. Une telle suite admet-elle toujours une sous-suite décroissante? Évidemment il faut justifier. -
OShine : pas grave si tu n'arrives pas encore à démontrer les choses "proprement", tu dis que c'est évident sur un dessin... dis-nous déjà ce que tu vois sur le dessin. Si tu ne sais pas le rédiger, ça s'apprend.
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Si une suite n'est pas majorée, elle dépassera toujours une certaine valeur peu importe le rang.
Donc si $M$ est le maximum sur $[|0,N|]$, il y aura un terme strictement supérieur à $M$ sur $[[N+1,+\infty[|$.
Bd2017 ça sert à quoi de m'enbrouiller avec 100 questions alors que je n'ai même pas résolu la question de départ de Noobey ? -
L'idée est là mais ta formulation est imprécise. "Elle dépassera toujours une certaine valeur peu importe le rang". Le vrai résultat, ça serait plutôt quelque chose de l'ordre de : si une suite $(u_n)_n$ n'est pas majorée, alors pour tout $M$, il existe une infinité de termes de la suite tels que $u_n > M$. Peux-tu démontrer ça ? On t'a déjà donné des indices pour cette idée dans ce fil.
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@Oshine
Je ne cherche pas à t'embrouiller. Evidemment il faut faire l'exercice de @Noobey et sans t'occuper pour le moment des autres exercices proposés. Ce que tu dois comprendre c'est qu'il s'agit des mêmes exercices (c'est-à-dire que c'est le même genre de difficultés). Quand tu auras fait l'exercice de @Noobey et bien tu feras les autres en 1 mn chrono en main...
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