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Suite numérique pour OShine

Envoyé par noobey 
Re: Suite numérique pour OShine
19 juin 2021, 14:19
Je ne sais pas démontrer que si $(u_n)$ est non majorée alors $(u_n)_{n \geq N}$ est non majorée. Je n'ai pas trouvé.
Re: Suite numérique pour OShine
19 juin 2021, 14:27
avatar
Mais tu n'as rien compris à mon reproche, pourtant mon message est clair, c'est très agaçant.
Re: Suite numérique pour OShine
19 juin 2021, 14:31
Comme toujours, c'est sur des questions de niveau lycée, où il suffit de traduire intelligemment, que OS bloque. C'est normal, ce n'est pas dans "son bouquin" ni dans un corrigé de concours qu'il a lu.
Re: Suite numérique pour OShine
19 juin 2021, 14:34
avatar
Par exemple si N=1 ou 2 tu sais comment procéder ?
Re: Suite numérique pour OShine
19 juin 2021, 18:07
OShine : quand tu auras réussi à produire un truc (pour la question de $(u_n)_{n \geqslant N}$ non majorée), je te donnerai 2-3 choses à savoir. En attendant, si tu n'arrives pas le cas général, l'indication de RLC de poser $N=1$ ou $2$ est déjà un début. Autre indication : fais un dessin !

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Suite numérique pour OShine
19 juin 2021, 20:00
Je sais que c'est évident sur un dessin mais je n'arrive pas à le démontrer avec les quantificateurs.
Re: Suite numérique pour OShine
19 juin 2021, 20:02
Bonjour
Dans le même esprit on peut aussi poser cette question:

Soit une suite $(u_n)_{n\in \N}$ dont les termes sont tous positifs et telle que la suite converge vers 0.

1. Donner un exemple d'une telle suite qui soit non décroissante à partir de n'importe quel rang (si une telle suite existe) .

2. Une telle suite admet-elle toujours une sous-suite décroissante? Évidemment il faut justifier.
Re: Suite numérique pour OShine
19 juin 2021, 20:04
OShine : pas grave si tu n'arrives pas encore à démontrer les choses "proprement", tu dis que c'est évident sur un dessin... dis-nous déjà ce que tu vois sur le dessin. Si tu ne sais pas le rédiger, ça s'apprend.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Suite numérique pour OShine
21 juin 2021, 17:24
Si une suite n'est pas majorée, elle dépassera toujours une certaine valeur peu importe le rang.

Donc si $M$ est le maximum sur $[|0,N|]$, il y aura un terme strictement supérieur à $M$ sur $[[N+1,+\infty[|$.

Bd2017 ça sert à quoi de m'enbrouiller avec 100 questions alors que je n'ai même pas résolu la question de départ de Noobey ?
Re: Suite numérique pour OShine
21 juin 2021, 21:44
L'idée est là mais ta formulation est imprécise. "Elle dépassera toujours une certaine valeur peu importe le rang". Le vrai résultat, ça serait plutôt quelque chose de l'ordre de : si une suite $(u_n)_n$ n'est pas majorée, alors pour tout $M$, il existe une infinité de termes de la suite tels que $u_n > M$. Peux-tu démontrer ça ? On t'a déjà donné des indices pour cette idée dans ce fil.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 09:42
@Oshine
Je ne cherche pas à t'embrouiller. Evidemment il faut faire l'exercice de @Noobey et sans t'occuper pour le moment des autres exercices proposés. Ce que tu dois comprendre c'est qu'il s'agit des mêmes exercices (c'est-à-dire que c'est le même genre de difficultés). Quand tu auras fait l'exercice de @Noobey et bien tu feras les autres en 1 mn chrono en main...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/06/2021 11:24 par AD.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 13:57
Démontrons que si $u$ n'est pas majorée alors pour tout $M \in \R$ il existe une infinité de termes de la suite tels que $u_n >M$

Si $u$ n'est pas majorée alors $\forall M \in \R \ \exists n \in \N \ u_n >M$.

Considérons l'ensemble $A=\{ n \in \N \ | \ u_n >M \}$. Par l'absurde, si $A$ est fini, alors il existe une infinité d'indices de la suite pour lesquels $u$ est majorée, ce qui est absurde. Ce qui démontre le résultat.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 14:02
Niveau rédaction, c'est mauvais. Mais à part ça, pourquoi ton absurdité est absurde ? Tu n'as rien démontré.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 14:09
"alors il existe une infinité d'indices de la suite pour lesquels $u$ est majorée" .... c'est à dire?
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 14:31
Soit $u$ une suite non majorée.

Il existe un indice $n \in \N$ tel que $u_n >0$. Notons-le $\varphi(0)$.

Il existe un $p > \varphi(0)$ tel que $u_p >1$ et $u_p > u_{\varphi(0)}$>. Notons le $\varphi(1)$. Par construction, $\varphi(1) > \varphi(0)$.

Par itération, on construit une application $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante telle que $\varphi(0) < \cdots < \varphi(n)$ pour tout $n \in \N$ et telle que $\varphi(n) >n$ pour tout $n$ et $u_{\varphi(n+1)}> u_{\varphi(n)}$

On a construit une suite strictement croissante $(u_{\varphi(n)})$ et en particulier $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{\varphi(n)}=+ \infty$
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 14:33
Pourquoi $n$ existe ? Pourquoi $p$ existe ?

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 14:35
Soit $M \in \R$, $\ A= \{ n \in \N \mid u_n >M \}$

Si $A$ est fini alors $A=\{ n_1, \cdots, n_p \}$. Et donc $\forall n \in \N \setminus A$, $\ u_n \leq M$. Mais l'ensemble $\N \setminus A$ est de cardinal infini, donc $(u_n)$ serait majorée, ce qui est absurde.

Conclusion : $\mathrm{card\,} A=+ \infty$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/06/2021 14:49 par AD.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 14:36
Les indices $n$ et $p$ existent car $(u)$ n'est pas majorée, elle n'est donc à fortiori pas majorée par $0$, $1$, $2$, etc...
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 14:48
Est-ce que tu te rends compte à quel point ta rédaction est confuse et chaotique ?

Reprends depuis le début, je veux une rédaction complète qui répond à la question en rouge ici.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 15:01
@Bd2017


Soit une suite $(u_n)$ dont les termes sont tous positifs et telle que la suite converge vers 0.

1. Donner un exemple d'une telle suite qui soit non décroissante à partir de n'importe quel rang (si une telle suite existe) .

2. Une telle suite admet-elle toujours une sous-suite décroissante? Évidemment il faut justifier.


1) Je propose la suite de terme général $u_n=\dfrac{ | \cos(n) |}{n}$ car $u_3 >u_2$

2) On utilise un raisonnement analogue au précédent. Comme $u$ tend vers $0$, par définition de la limite, il existe un entier $n$ tel que $u_n <1$. Notons-le $\varphi(0)$.

Il existe un entier $p$ tel que $u_p < \dfrac{1}{2}$ et $u_p < u_{\varphi(0)}$. On le note $\varphi(1)$.

On construit une suite $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante telle que $\varphi(0) < \cdots, \varphi(n)$ pour tout $n$ et telle que $u_{\varphi(n+1)} < u_{\varphi_n}$ et $u_{\varphi(n)} < \dfrac{1}{n+1}$

On a construit une sous-suite décroissante $(u_{\varphi(n)})$ qui tend vers $0$ par comparaison.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 15:02
Homo Topi je ne sais pas le démontrer autrement. Je ne vois pas d'erreur dans ma démonstration.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 15:10
Ta réponse à la question 1 Oshine.................................. Tu vas encore te faire taper sur les doigts



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/06/2021 15:10 par noobey.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 15:17
Je vais t'expliquer ce qui ne va pas.

ce que tu veux démontrer, c'est : si $u$ n'est pas majorée, alors pour tout $M \in \R$, il existe une infinité de termes de la suite tels que $u_n > M$.

Ton premier élément de réponse : tu te donnes un $M$. Tu définis $A = \{n \in \N \mid u_n > M\}$. Tu dis que si $A$ est fini, alors il existe une infinité d'indices de la suite pour lesquels $u_n$ est majorée (tu ne le précises pas, mais, par $M$). Mais, et alors ? La suite $(-1)^n n$ n'est pas majorée, elle possède une infinité de termes négatifs (donc majorés par $0$). En n'écrivant que ce que tu as écrit, tu n'as pas conclu à une absurdité. Il y en a bien une, d'absurdité, on t'a même déjà donné un indice dans le fil pour la trouver. Mais je veux que tu me trouves ce que c'est, cette absurdité.

Ton deuxième élément de réponse redit la même chose : Si $A$ est fini, alors $\N \setminus A$ est infini. "Donc" $u$ serait majorée. Pourquoi ?

Tu tournes en rond. En effet, si $A$ est fini, il existe une infinité de termes de la suite qui sont majorés par $M$, tous ceux dont l'indice n'est pas dans $A$. La question, c'est : pourquoi, si ton ensemble $A$ des termes non majorés par $M$ est fini, $u$ est forcément majorée ?

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 15:58
Rebonjour
@Os concernant ta réponse à la question 1) (celle que j'ai posé) il faut démontrer que la suite est non décroissante à partir de n'importe quel rang. Alors si $u_3>u_2,$ à partir du rang 3 tu ne démontres pas qu'elle n'est pas décroissante. Tu n'a pas répondu à la question.

Ceci étant dit tu n'as pas choisi l'exemple le plus facile !

Pour la question 2. c'est faux pour la même raison que dans le cas de la suite non majorée. Et comme je l'ai dit plus haut c'est le même exo. Alors revient au cas où la suite tend vers l'infini.....

La difficulté que nous rencontrons c'est que tu ne vois pas pourquoi tu es dans l'erreur. Si on te le dit c'est te donner la solution.....Tu dois voir par toi même....



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/06/2021 15:59 par bd2017.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 16:59
Je laisse tomber ma preuve alors je ne comprends rien.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 17:19
avatar
@OShine l'idée de ta preuve ici [www.les-mathematiques.net] est la bonne mais à cause de ta formulation on pourrait penser que tu n'a pas compris pourquoi ça marche.

Par conséquent afin de dissiper les doutes lorsque tu dis :

Citation
OShine
Mais l'ensemble $\N \setminus A$ est de cardinal infini, donc $(u_n)$ serait majorée...


est-ce que tu pourrais exhiber un majorant de $(u_n)$ dans ce cas ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/06/2021 17:20 par raoul.S.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 17:24
Un majorant de $(u_n)$ dans ce cas serait $\boxed{M'=\max \{ u_{n_1}, \cdots, u_{n_p},M \} }$
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 17:27
avatar
Voilà thumbs down

Donc ta pensée était correcte mais ta formulation laissait à désirer.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 17:32
Pour ma question à moi, il te suffit de remarquer UN truc. Tu veux raisonner par l'absurde, donc tu veux contredire une de tes hypothèses de départ. Nous, on n'en a qu'une : la suite est non majorée. Donc ton raisonnement doit aboutir à "donc elle est majorée". Tu y es presque ! En plus, comme dit, un indice traîne dans ce fil.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 21:46
@Os ton exemple m'incite à te poser cette question:

Si on considère la suite $u_n=\cos(n).$

1. Montrer que cette suite ne converge pas vers 0.

2. Peut-on extraire une sous-suite qui converge vers 0?
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 22:05
@Bd2017

Je propose après réflexion $\boxed{u_n=\dfrac{ 1-(-1)^n}{n+1}}$ . Supposons par l'absurde qu'il existe $N \in \N$ tel que $n \geq N \implies u_{N+1} \leq u_N$

Alors on aurait $\dfrac{ 1-(-1)^{N+1}}{N+2} \leq \dfrac{ 1-(-1)^N}{N+1}$ donc $\dfrac{ 1+(-1)^{N}}{N+2} \leq \dfrac{ 1-(-1)^N}{N+1}$

Je n'ai pas abouti. (J'ai tenté les cas N pair et N impair)

@Homo Topi
C'est une usine à gaz le raisonnement direct.
La façon la plus simple de rédiger est la contraposée.

Si $(u_n)$ n'est pas majorée alors $\forall M \in \R \ \exists n \in \N \ u_n > M$

Supposons que $(u_n)_{n \geq N}$ soit majorée. Alors $\exists M \in \R$ tel que $\forall n \geq N \ u_n \leq M$.

Mais alors la suite $u$ es majorée par $\max(u_0, \cdots, u_{N-1},M)$.

Le résultat en résulte par contraposée.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/06/2021 22:06 par OShine.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 22:20
@Os ton exemple c'est ça. (exemple simple qui répond à la question.

En effet si n est pair $u_n=0$ et sinon $u_n=2/n.$ C'est évident qu'elle est non décroissante à partir de n'importe quel rang (car $u_{2n}<u_{2n +1}$ pour tout $n \in \N$)

L'exemple $\dfrac{|\cos(n)|}{n}$ est bon aussi mais c'est beaucoup plus délicat à montrer.

Je crois maintenant qu'il faut répondre à l'exercice de @Noobey...

c'est- à-dire : $(u_n)$ tend vers l'infini et extraire une sous-suite croissante.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 22/06/2021 22:28 par bd2017.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 22:22
@Bd2017

1) Les suites $v_n= 2 n \pi$ et $w_n =\dfrac{\pi}{2}+2n \pi$ diverge vers $+\infty$ et $\cos(v_n)=1$ alors que $\cos(w_n)=0$ donc la suite $( \cos n)$ ne converge pas vers $0$.

2) Je ne sais pas répondre.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 22:26
Non ce n'est pas ça. D'ailleurs il n'y a pas de logique dans ce que tu proposes.
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 22:47
Oh Oshine, pas ça pas ça, pas ça Oshine ! Oh non pas ça, pas aujourd'hui, pas maintenant, pas après tout ce que tu as fait !

Encore une bourde de lycéen/début de L1! spinning smiley sticking its tongue out

Faudrait que tu te fasses un gdoc avec les 50 bourdes quotidiennes et que tu relises tous les soirs avant de dormir
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 23:01
Citation
Oshine
@Homo Topi
C'est une usine à gaz le raisonnement direct. La façon la plus simple de rédiger est la contraposée.

Si $(u_n)$ n'est pas majorée alors $\forall M \in \R \ \exists n \in \N \ u_n > M$.

Supposons que $(u_n)_{n \geq N}$ soit majorée. Alors $\exists M \in \R$ tel que $\forall n \geq N \ u_n \leq M$.

Mais alors la suite $u$ es majorée par $\max(u_0, \cdots, u_{N-1},M)$.

Le résultat en résulte par contraposée.

Ce n'est pas un raisonnement par contraposée, mais par l'absurde. Au moins, après moult efforts, c'est correct, c'est déjà ça. Tu as toujours l'impression de maîtriser suffisamment les choses pour faire des sujets de concours ? Un étudiant de L1 est censé savoir faire ça de lui-même début septembre de son année...

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Suite numérique pour OShine
22 juin 2021, 23:42
@bd : si, il y a une logique. Simplement, il pense que $(\cos(v_n))_n$ et $(\cos(w_n))_n$ sont des suites extraites de $(\cos(n))_n$.
Donc qui se porte volontaire pour lui faire un cours de suite ?

Bon, allez question à laquelle il va dire : "trop de boulot, pourquoi vous me surchargez ? ça n'a rien à voir avec mon problème.."
Soit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Si $f$ admet une limite en $+\infty$, que dire de $(f(n))_n$ ? Réciproquement, que dire ?

OS, c'est quand même ridicule quand tu dis avoir terminé le cours de sup et qu'à chaque topic, tu redescends de 10 étages. Mon avis, c'est que tout est à refaire. Tu te plantes pour pas grand chose déjà sur les suites, ça veut dire que "séries numériques", "séries entières", "séries de fonctions" sont des chapitres déjà trop avancés. Sans parler de l'intégrabilité (qui utilise pas mal la caractérisation séquentielle).
Re: Suite numérique pour OShine
23 juin 2021, 00:09
avatar
Citation
Alexique
Simplement, il pense que $(\cos(v_n))_n$ et $(\cos(w_n))_n$ sont des suites extraites de $(\cos(n))_n$.

Mais qu'est-ce qui lui fait penser ça ? Je veux dire même si c'est une erreur (assez énorme...) quel est le bout de raisonnement "logique" qui fait dire à OShine ça ?


PS. OShine si Alexique a raison tu vas devenir perliculteur comme Pablo smoking smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/06/2021 00:11 par raoul.S.
Re: Suite numérique pour OShine
23 juin 2021, 00:55
avatar
Où est l'erreur dans ce qu' a dit OS
Les suites $v_n= 2 n \pi$ et $w_n
=\dfrac{\pi}{2}+2n \pi$ diverge vers $+\infty$ et
$\cos(v_n)=1$ alors que $\cos(w_n)=0$ donc la
suite $( \cos n)$ ne converge pas vers $0$.

Par l’absurde si la suite $( \cos n)$ tend vers 0 , alors à partir d'un certain rang, on aura $( \cos n)$ entre -1/2 et 1/2 ce qui contredit que $\cos(v_n)=1$
De même si a suite $( \cos n)$ tend vers l non nulle disons l>0, alors à partir d'un certain rang, on aura $( \cos n)$ entre l/2 et 3l/2 ce qui contredit que $\cos(w_n)=0$
Je vois seulement que OS n'a pas terminé sa phrase, il aurait du écrire
Les suites $v_n= 2 n \pi$ et $w_n
=\dfrac{\pi}{2}+2n \pi$ diverge vers $+\infty$ et
$\cos(v_n)=1$ et $\cos(w_n)=0$ donc la
suite $( \cos n)$ ne converge ni vers $0$ ni vers une limite non nulle.

Signature: Je suis de passage .
Re: Suite numérique pour OShine
23 juin 2021, 04:19
@Homo Topi

Dans le sujet de concours que je fais, les questions sont moins tordues que ça.

PS : je n'ai jamais parlé de suites extraites mais j'ai utilisé le théorème suivant et j'utilise exactement la même méthode que l'exemple du livre.

Merci Gebrane, j'utilise une méthode connue et on me dit que c'est faux confused smiley

En plus je connais cette technique depuis plus de 2 ans et je l'ai utilisée à de nombreuses reprises.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 23/06/2021 04:33 par OShine.


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