Série, exercice astucieux ?
Voici l'exercice.
Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de réels strictement positifs telle que la série $\sum\limits_{n\geqslant 0} u_n$ converge.
Montrer que la série $\sum\limits_{n\geqslant 1} u_n^{1-\frac{1}{n}}$ converge.
Je ne l'ai pas trouvé après avoir cherché un certain moment. J'ai jeté un œil ultra rapide au corrigé pour me spoiler qu'à moitié et ensuite c'était évident.
Avec le recul, il n'est pas difficile mais je le qualifierais d'astucieux. J'aimerais donc savoir s'il y a éventuellement une solution moins parachutée que celle qui m'a été téléguidée (que je donnerais si personne ne la propose).
Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de réels strictement positifs telle que la série $\sum\limits_{n\geqslant 0} u_n$ converge.
Montrer que la série $\sum\limits_{n\geqslant 1} u_n^{1-\frac{1}{n}}$ converge.
Je ne l'ai pas trouvé après avoir cherché un certain moment. J'ai jeté un œil ultra rapide au corrigé pour me spoiler qu'à moitié et ensuite c'était évident.
Avec le recul, il n'est pas difficile mais je le qualifierais d'astucieux. J'aimerais donc savoir s'il y a éventuellement une solution moins parachutée que celle qui m'a été téléguidée (que je donnerais si personne ne la propose).
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Réponses
On peut montrer séparément que $\displaystyle\sum_{n\geqslant 1, \, u_n\leqslant 1/n^2} u_n^{1-\frac1n}$ et $ \displaystyle\sum_{n\geqslant 1, \,u_n\geqslant 1/n^2} u_n^{1-\frac1n}$ sont finies.
On a $u_n^{1-1/n}=u_n\cdot u_n^{-1/n}$ et comme tout est positif on aurait envie de majorer $u_n^{-1/n}$ par quelque chose (disons $2$), au moins à partir d'un certain rang. Malheureusement la suite $u_n^{-1/n}$ pourrait avoir une infinité de termes supérieurs à $2$. Cependant $u_n^{-1/n}>2 \implies u_n < 2^{-n}$ et donc $u_n^{1-1/n} < 2^{-n+1}$. On note donc $I$ et $J$ les ensembles d'entiers pour lesquels $u_n^{-1/n}\leq 2$ et $u_n^{-1/n}> 2$ respectivement, on a alors
\[
\sum_\N u_n^{1-1/n} = \sum_I u_n^{1-1/n} + \sum_J u_n^{1-1/n} \leq 2\sum_I u_n + \sum_J 2^{-n+1} \leq 2\sum_\N u_n + 4 <\infty.
\]
C'est évidemment la même idée que celle proposée par Calli, le découpage est la seule chose qui change un peu.
\sum_{i=2}^n u_n^{1-\frac{1}{n}}
< S_n+2\sqrt{S_n}.$
La solution que j'évoquais est la suivante :
$0\leqslant u_n^{1-\frac{1}{n}}\leqslant\max\{2 u_n,\frac{1}{2^{n-1}}\}\leqslant 2u_n+\frac{1}{2^{n-1}}$ dont la série converge.