Distance à une partie
Bonjour,
Soit $E$ un espace vectoriel normé. Soit $A$ une partie non vide de $E$. Soit $a \in A$.
Soient $x,y$ des éléments de $E$.
On a $| d(x,A)-d(y,A)| \leq d(x,y)$
Je n'ai pas de problème avec la démonstration mais je ne comprends pas comment visualiser ce résultat ni comment le retenir.
Soit $E$ un espace vectoriel normé. Soit $A$ une partie non vide de $E$. Soit $a \in A$.
Soient $x,y$ des éléments de $E$.
On a $| d(x,A)-d(y,A)| \leq d(x,y)$
Je n'ai pas de problème avec la démonstration mais je ne comprends pas comment visualiser ce résultat ni comment le retenir.
Réponses
-
Ca m'a jamais été utile de le visualiser ou de le retenir.
-
Je ne vois pas comment le retenir si on n'arrive pas à la visualiser sur un dessin.
Je ne comprends pas ce résultat. Pourquoi visuellement la différence entre la distance de $x$ à $A$ et celle de $y$ à $B$ serait inférieure à la distance entre $x$ et $y$ ?
A quoi sert-il alors ? -
Comment visualises-tu la deuxième inégalité triangulaire ?
-
Il "sert" à démontrer en particulier que $x\mapsto d(x,A)$ est continue car lipschitzienne. Ce n'est pas complètement trivial, la distance étant définie comme une borne inférieure.
-
Oshine : Le dessin que tu as posté est complètement absurde... et les inégalités que tu donnes au-dessus sont triviales puisque AC est le plus grand des 3 côtés du triangle !
Les inégalités utiles sont $AC-AB \leq BC$ c'est-à-dire encore $AC-BC\leq AB$.
Par ailleurs, ça ne dit pas comment tu les visualises. -
A la base, $A$ étant une partie, vu que tu le réduis à un point $A$ du plan, tu diminues fortement ta propriété.
Pour représenter une partie A dans le plan, on dessinerait par exemple une patate non convexe voire non connexe. Ensuite, placer 2 points $x$ et $y$ et essayer de voir ce qu'il se passe. -
Bisam dans le cours que j'ai c'est expliqué avec le triangle uniquement dans le cas $|[x+y|| \leq ||x||+ ||y||$. (Le chemin le plus cours est la ligne droite).
La deuxième inégalité est $ | ||x|| -||y|| | \leq ||x-y||$. Soit $- ||x-y|| \leq ||x|| - ||y|| \leq ||x-y||$
On prend $x=\vec{AC}$, $y=\vec{AB}$ donc $x-y=\vec{AC}-\vec{AB}=\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{BC}$
Mais je ne visualise pas cette deuxième inégalité -
C'est là où je voulais en venir : il y a certains résultats que l'on retient mais que l'on n'arrive pas à visualiser pour autant.
-
Le temps (a vitesse constante) mis pour aller de New York à Chicago est au moins la différence entre le temps le plus court mis pour aller d’Europe a New York et celui pour aller d’Europe a Chicago.
-
Je trouve ça relativement clair sur un vrai dessin, bien qu'on soit dans un cadre hilbertien et que la distance soit un peu "facile" puisqu'on sait trouver où elle est atteinte, on n'a pas besoin de plus de généralité pour comprendre.
Sinon retiens l'énoncé "la distance est 1-lipschitzienne", qui est un fait utile en culture générale et n'encombre pas la mémoire. -
@Bd2017
J'ai une lacune sur les distances à une partie, je suis bloqué sur un exercice de mon cours aussi. Je ne sais pas les calculer et ce n'est pas expliqué dans le livre. J'ouvrirai un autre sujet là-dessus.
@NoName
Je ne vois pas pourquoi ça serait forcément vrai :-S Pourquoi le temps de faire New York Chicago serait forcément plus important que la différence entre les temps pour faire New York Europe et Europe-Chicago ?
@Riemann
J'ai essayé de faire un dessin mais je ne sais pas représenter $d(x,y)$ :-S -
Tu ne peux pas être sérieux. Tu ne sais pas qui est $d(x,y)$ sur ce dessin ? Mais alors comment as-tu fait pour trouver les distances à $A$ ?
-
Les distances à $A$ sont dessinées dans mon livre en illustration. La distance à une partie est la plus petite distance entre le vecteur et cette partie. C'est la borne inférieure des distances.
Pour les vecteurs, je ne sais pas comment faire :-S -
Ben, ça veut dire quoi "la borne inférieure des distances" ? La borne inférieure de quelles distances ?
-
On a $d(x,y)= ||y-x||$ par définition. Mais je ne sais pas représenter le vecteur $y-x$ dans un tel dessin. Il n'y a pas d'origine ni de repère donc ça me perturbe.
-
L'emplacement de l'origine et du repère, dans l'absolu, on s'en fiche.
Puisque tu as un dessin sur une feuille, disons que $E = \R^2$. Les vecteurs de $\R^2$, ce sont bêtement des flèches. Sauf que toi, ce ne sont pas des flèches que tu as sur ton dessin... pourtant, $x$ et $y$ sont des vecteurs de $E$. Ce que tes "points" $x$ et $y$ représentent, en fait, ce sont les pointes des flèches $x$ et $y$. Tu peux placer l'origine n'importe où, et dessiner une flèche qui part de l'origine vers le "point" $x$, idem avec $y$, et tu auras des vrais vecteurs. A partir de là, tu sais que $x + (y-x) = y$, donc le vecteur $y-x$, tu devrais trouver facilement où sur ton dessin il y en a un représentant.
Ceci mis à part, je ne trouve pas que ton message réponde à ma question. -
Alors fais une patatoide différente de ton livre et place deux points ailleurs que sur leur dessin pour nous montrer que tu comprends cette idée de distance à une partie.
Fais ensuite un autre dessin en prenant une partie qui ne soit pas fermée pour voir que les choses ne sont pas forcément si simples et que le inf n'est pas nécessairement un min. -
Toujours dans le même esprit.
1. Soit $x=(0,3)$ et $A=\{ (x,y)\in \R^2\mid y=f(x)= x^2 \},\ $ calculer $d(x,A)$.
2. Plus difficile (mais faisable) $x=(1,3)$ et $A=\{(x,y)\in \R^2\mid y=f(x)= x^2 \},\ $ calculer $d(x,A).$
3. $A$ étant un fermé soit $y$ un point de $A$ tel que $d(x,y)=d(x,A)$. Faire une figure de 1 ou 2.
Faire une conjecture sur la position de la tangente à $A$ au point $y$. -
Je n'ai pas encore vu les fermés. Je suis au début du chapitre.
Bd2017 je ne sais pas calculer la distance à une partie. J'ai le même style d'exercice dans le cours de mon livre et je n'ai pas réussi.
Homo Topi / Riemann OK je fais ça ce soir. -
Bon attention tout de même. De façon générale une distance à une partie n'est pas facile à calculer.
Mais sur l'exemple que j'ai donné A est un quart de plan. Peux tu faire une figure et puis représenter les 2 points que j'ai donnés. Ensuite on verra... -
Bon, c'est bien. Peux-tu expliquer brièvement comment tu as choisi les flèches vertes plutôt que d'autres ?
Sinon le résultat dit simplement que la différence des deux longueurs vertes est plus petite que la bleue. C'est tout.
Ce n'est pas un résultat époustouflant non plus, mais tout comme l'inégalité triangulaire peut sembler évidente sur un dessin et ne valant pas la peine d'être relevée pour le débutant, ce petit résultat semblant tout aussi évident au point de ne pas mériter un énoncé se révèle parfois bien utile.
Heureusement qu'il est là, notamment car la notion de distance à un ensemble n'est pas bien souple à cause de l'inf, qui peut se révéler enquiquinant en faisant de l'analyse. -
Parce que $d(x,A)= \inf \{ ||x-a|| \ | \ a \in A \}$
La distance de $x$ à $A$ est la borne inférieure des distances entre $x$ et $A$.
@Bd2017
Je ne sais pas résoudre tes exercices car j'ai commencé par étudié le cours et j'ai bloqué sur le premier exercice d'application et le livre donne le corrigé sans rien expliquer. Le voici :
Si $a \in A$ alors $a=(u,2u)$ avec $u \in \R$. On a $x=(-1,1)$.
J'ai tenté $d(x,A)= \inf \{ \max ( |-1-u|,|1-2u|) \ | \ u \in \R \}$ et après je bloque. -
Bien, alors avant les exos de bd2017, tu dois impérativement comprendre ce petit exo de ton bouquin.
Commençons par ceci : si $(a,b)$ est un vecteur de $\R^2$, peux-tu me donner $\|(a,b)\|_1$ $\|(a,b)\|_2$ et $\|(a,b)\|_{\infty}$ ? -
Oui j'ai déjà dit à Bd2017 qu'il m'embrouillait à me donner 100 exos alors que je suis en train d'étudier le cours et que je n'ai pas le niveau pour les faire.
$||(a,b)||_1= |a|+|b|$
$||(a,b)||_2 = \sqrt{a^2+b^2}$
$||(a,b)||_{\infty}= \max ( |a|,|b|)$
D'ailleurs l'exercice suivant est de représenter la boule unité de $\R^2$ pour ces différentes normes et idem je n'ai pas compris comment faire. -
Ben, ça va venir. Les boules unités de ces normes sont ultra-classiques, il faudra les connaître, mais chaque chose en son temps.
Bien, maintenant, on te donne le point de coordonnées $(-1,1)$ et une droite d'équation $y=2x$. Si $M(x,y)$ est un point du plan, la distance entre $(-1,1)$ et $M$, c'est $\|(-1,1) - (x,y)\|$ pour chaque norme. Il faut utiliser le fait qu'on peut exprimer $y$ en fonction de $x$, et après, ben, appliquer la définition de distance à une partie avec ce fameux $\inf$. Donne-moi les formules pour les trois normes.
Nota Bene : je trouve hallucinant que dans ton bouquin, ils appellent $x$ un point, et dans la même phrase, mettent une équation $y=2x$. Utiliser le même symbole pour deux choses complètement différentes dans un énoncé aussi court, une honte ! C'est pas comme si la lettre $P$ pour nommer le point était déjà prise... -
Je suis d'accord pour les notations. Merci pour l'aide.
$||(-1-x,1-y)||_1 = |1+x|+|1-y|$ et comme $(x,y) \in A$ on a $y=2x$ soit $\boxed{||(-1-x,1-y)||_1 = |1+x|+|1-2x|}$
Donc $d_1 = \inf_{x \in \R} \{ |1+x|+|1-2x| \}$
Posons $f : \R \longrightarrow \R \\ x \mapsto |1+x|+|1-2x|$
Je dois déterminer $\inf (f)$. Je vais essayer de le faire. -
Pour l'instant, c'est très bien. Cet $\inf$ doit être instinctif, mais s'il ne l'est pas, ça prend 2 lignes.
-
Posons $f(x)=|1+x|+|1-2x|$.
Si $x<-1$ alors $f(x)=-3x$
Si $-1<x<1/2$ alors $f(x)=2-x$
Si $1/2<x$ alors $f(x)=3x$
$f$ est affine par morceaux, elle admet une borne inférieure, c'est le minimum. Ainsi, d'après un dessin il est atteint en $x=1/2$ et $\boxed{d_1=\dfrac{3}{2}}$
Norme $2$ :
$d_2= \inf \{ x \mapsto \sqrt{ 5x^2-2x+2} \ | \ x \in \R \}$
Posons $g(x)=\sqrt{ 5x^2-2x+2}$. On a $g'(x)=(5x-1) (5x^2-2x+2)^{-1/2}$
Le minimum de $g$ est atteint en $x=1/5$, il vaut $\boxed{d_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}}$
Pour la norme infinie je n'ai pas réussi. Je n'arrive pas à trouver $\max ( |1+x|, |1-2x|)$ -
Voilà, ta méthode esst la bonne. Pour la norme $1$, c'est juste. Pour la norme $2$, je n'ai pas fait les calculs, je te fais confiance dessus (tu vois qu'on ne se moque pas de toi) mais même s'il y a une erreur de calcul, la méthode est correcte.
Pour la norme $\infty$, il faut y aller en deux temps. C'est normal que tu ne trouves pas "un" $\max(|1+x|,|1-2x|)$, puisque c'est une fonction de $x$ ! Imagine que tu aies $f : x \longmapsto \max(|1+x|,|1-2x|)$. Trace les deux fonctions $|1+x|$ et $|1-2x|$ sur un même dessin, tu verras laquelle est au-dessus de l'autre en fonction de la valeur de $x$ : $f$ est définie par morceaux. Après, ta norme infinie, c'est $\inf\{f(x) \mid x \in \R\}$.
EDIT : j'aurai une question supplémentaire, à la fin. Quand tu auras calculé les trois distances, et que tu auras réussi à dessiner les boules unité pour les trois distances, je te ferai dessiner des boules sur le dessin avec le point $(-1,1)$ et la droite $y=2x$, tiens. Tu pourras visualiser un peu le truc. -
Voici mon résultat.
-
La fonction $x \mapsto |x-1|$ s'annule en $-1$ ?
-
C'était $|1+x|$ dans l'exercice erreur de frappe. J'ai vérifié mon tracé sur Geogebra il est correct.
Mes réponses correspondent au corrigé (:D
Je m'attaque à la boule unité.
Norme $1$ :
Soit $(x,y) \in \R^2$. On a $||(x,y)||_1=1$ si et seulement si $|x|+|y|=1$
Distinguons 4 cas, qui correspondent à 4 cadrants dans le plan :
Si $x,y >0$ alors $y=1-x$ et ce sont les points qui appartiennent à la droite d'équation $y=1-x$.
Si $x,y<0$ alors $y=-x-1$ et ce sont les points qui appartiennent à la droite d'équation $y=-x-1$.
Si $x>0$ et $y<0$ alors $y=x-1$
Si $x<0$ et $y>0$ alors $y=1+x$
C'est un carré.
Pour la norme $2$, c'est l'ensemble des points qui vérifient $x^2+y^2=1$ c'est donc le cercle de centre O et de rayon $1$.
Pour la norme infinie, on a $\max (|x|,|y|)=1$
Si $\max (|x|,|y|)=|x|$ alors $x= \pm 1$ et $-1 \leq y \leq 1$
Si $\max (|x|,|y|)=|y|$ alors $y= \pm 1$ et $-1 \leq x \leq 1$
Ce qui donné un carré.
J'ai une petite question sur le corrigé, je n'ai pas compris pourquoi le point le plus proche de $x$ au sens de la norme $2$ est aussi le projeté orthogonal de $x$ sur la droite $A$.
Par ailleurs, je n'ai pas compris la méthode du corrigé. Comment on détermine $a_1$, $a_2$ et $a_{\infty}$ ? -
Cours de collège à mon époque; Cours de lycée il y a 20 ans (distance d'un point à une droite).
Quelle tristesse qu'un certifié ne connaisse pas les notions de base du secondaire !!
Lamentable ... -
Je sais mais ici j'essaie d'utiliser les notions du supérieur, et surtout la notion de norme pour l'assimiler.
Je sais qu'on donne au lycée une formule pour calculer ça. -
Quelle est ta définition du projeté orthogonal ?
-
OS "Je sais mais ici j'essaie d'utiliser les notions du supérieur" sans même penser à ce que tu as eu appris en secondaire ... résultat tu es obligé de demander ce que tout le monde sait.
A moins que tu ais posé ta question de façon idiote ... ce qui serait pire !
Quand c'est une question de niveau lycée, avec les outils du supérieur, il est facile d'y répondre, et un prof devrait être capable de chercher et trouver seul.
Tu es lamentable ! -
Je pense que OShine et le cas typique d'étudiant "type prépa". En prépa, avec un programme très précis avec un concours en vue, et des profs qui guident vraiment les étudiants vers cet objectif, ça va. A la fac par contre, laissé à soi-même, obligé de s'organiser par lui-même et à apprendre par curiosité parce que les profs ne font souvent pas d'effort... là ça n'irait plus.
Moi, ça m'a libéré d'aller à la fac. Mais lui, j'ai l'impression que même maintenant, à part ce système de "on se focalise sur une liste de choses à apprendre", il ne sait pas comment apprendre des maths. Il ne prend pas de recul sur les notions, il ne voit pas les liens entre elles, il apprend mécaniquement ce qu'on lui dit d'apprendre et pense que faire des maths, c'est ça, et que faire ça, c'est comprendre les maths. -
Homo Topi as-tu compris comment le corrigé calculer $a_1$ ? Je n'ai pas compris.
Pour le projeté orthogonal, on appelle projection orthogonale sur $F$, la projection sur $F$ parallèlement à $F^{\perp}$.
Une base orthonormée de la droite d'équation $y=x$ est $e=\dfrac{1}{\sqrt{2}} (1,1)$.
Le projeté orthogonal de $x=(-1,1)$ sur $A$ est donné par $\pi(x)=(e ,x) e$
Mais quel est le produit scalaire ici ? -
Mais tu as un point et une droite sur un dessin. Tu ne vois pas comment trouver de quel point de la droite ton point donné est le plus proche visuellement ? Et comment formaliser ça en un calcul ?
Personne ne retient par cœur la formule (j'ose espérer), car c'est visuel et il suffit d'assembler les choses. -
Pour trouver les $a_k$, il te suffit de regarder pour quelle valeur de $x$ l'inf est atteint ! Rappelle-toi qui est $x$, c'est une coordonnée d'un point sur une droite.
Ben, le produit scalaire, c'est le produit scalaire euclidien, évidemment. Il est défini par quoi dans $\R^2$ ? -
Riemann la formule de la projection orthogonale est importante elle sert très souvent en algèbre linéaire.
-
Non Riemann je ne sais pas faire sans appliquer le cours.
Ok merci j'ai compris pour les valeurs de $a$.
Mais la projection je n'ai pas trop compris. Je n'arrive pas à trouver $a_2=(1/5,2/5)$ en utilisant la formule du projeté orthogonal.
C'est le produit scalaire canonique $(x,y)=x_1 y_1+x_2 y_2$
Ici c'est $\pi(x)=\pi(-1,1)=0$ je ne comprends pas l'erreur :-S -
Je ne comprends rien à ce que tu fais mais pour rappel le projeté doit être un point, pas un nombre.
-
J'utilise la formule de la projection d'un vecteur sur une droite vectorielle.
Ici on a $A=\R (1, 2)$ je vais refaire le calcul car j'ai fait une erreur je pense. -
Ton erreur c'est que l'équation de la droite, c'est $y=2x$ et pas $y=x$, donc ton vecteur directeur de norme $1$ c'est $\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1,2)$.
-
Mais même en dehors de ça, oui, le problème c'est qu'on veut un point et pas un vecteur.
Regarde sur un dessin : Si j'appelle $P$ le point à projeter, et $H$ son projeté sur la droite, pour n'importe quel point $B$ de la droite j'obtiens un triangle $BHP$ rectangle en $H$. Je peux donc écrire le théorème de Pythagore : $BH^2 + PH^2 = BP^2$. Sachant que ici, les longueurs sont évidemment les normes $\|\cdot\|_2$ des vecteurs. Il suffit de choisir intelligemment le point $B$ pour simplifier les calculs (à tout hasard, le point $(0,0)$ est sur la droite...) et de se rappeler que $H$ a des coordonnées du type $(x,2x)$ puisqu'il est sur la droite. Du coup, mon théorème de Pythagore me donne une équation du second degré en $x$, il faut la résoudre, et ensuite réfléchir par rapport aux solutions.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 38
+27 Invités