Intégrales d'Euler

Ce texte m'a hautement perturbé. Les formulations et notations sont tout sauf naturelles, au début j'ai cru qu'il parlait d'une série...

Cet article m'a l'air plus digeste que la lettre sur Wikipédia, ne serait-ce que par sa modernité, je vais le lire également, merci.

Bon... avant de vouloir définir $\Gamma$ sur les complexes, je regarde déjà le cas réel, j'ai déjà du mal avec ça.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $R > 0$. Une IPP et un passage à la limite dans $\displaystyle \int_0^R t^{n}e^{-t}dt$ montrent que $\Gamma(n+1)=n \Gamma(n)$ si ça existe. Comme $\Gamma(1)=1$, ça existe et on a bien $\Gamma(n+1)=n!$. Jusque-là, pas de problème.

Les problèmes commencent quand on prend $x$ réel : $t^x = e^{x \ln(t)}$ est défini pour $t > 0$ et $x$ quelconque, mais mon intégrale impropre nécessite maintenant une étude aux deux bornes.

Je vais découper mon intégrale en deux. Je prends $0 < a \leqslant 1$ et je regarde $\displaystyle \int_a^1 t^{x-1}e^{-t}dt$ pour commencer. Si $x-1 \geqslant 0$, donc si $x \geqslant 1$, on a $t^{x-1}e^{-t} \leqslant 1$ donc $\displaystyle \int_a^1 t^{x-1}e^{-t}dt \leqslant 1-a$, donc $\displaystyle \int_0^1 t^{x-1}e^{-t}dt = 1$. Quand $x \leqslant 1$, $t^{x-1}$ n'est pas majoré pour $0 < t \leqslant 1$, donc j'ai encore besoin de réfléchir pour trouver un majorant. L'intégrale est censée exister pour $x > 0$...

Bon, je vais essayer de recommencer.

Soit $z \in \C$. Je pose $z=x+iy$. Alors : $t^{z-1}e^{-t} = ... = t^{x-1}e^{i.y\ln(t)}e^{-t}$, donc $|t^{z-1}e^{-t}| = |t^{x-1}e^{-t}| = t^{x-1}e^{-t}$.
Je me retrouve bien à traiter le cas d'un argument $x \in \R$, au moins pour essayer de voir directement si l'intégrale est absolument convergente.

$\displaystyle \int_1^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ est impropre à cause de la borne $\infty$. Je n'avais pas pensé à l'astuce d'écrire $t^{x-1}e^{-t} = (t^{x-1}e^{-t/2})e^{-t/2}$, cf le fil de Poirot sur les $o$ et $O$. Je rappelle les arguments ici : $t^{x-1}e^{-t/2}$ est bornée sur $[1,\infty[$ car continue et de limite $0$, donc $(t^{x-1}e^{-t/2})e^{-t/2} = e^{-t/2} \times O(1)$, donc $(t^{x-1}e^{-t/2})e^{-t/2} = O(e^{-t/2})$. Or, $e^{-t/2}$ est intégrable : $\displaystyle \int_1^{\infty}e^{-t/2}dt = ... = \dfrac{2}{\sqrt{e}}$. Donc : $\displaystyle \int_1^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ existe pour tout $x \in \R$.

$\displaystyle \int_0^1 t^{x-1}e^{-t}dt$ est impropre à cause de la borne $0$. En majorant $0 < e^{-t} \leqslant 1$, on obtient $\displaystyle \int_0^1 t^{x-1}dt$ qui est convergente si, et seulement si, $x>0$.

Conclusion partielle : Avec le critère de convergence absolue, on sait déjà que $\displaystyle \int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ existe au moins quand $\text{Re}(z) > 0$.

Il reste à voir pourquoi $\displaystyle \int_0^1 t^{x-1}e^{-t}dt$ est divergente dès que $x \leqslant 0$. J'avais déjà fait ça, mais je le réécris ici : $e^{-t} \geqslant \dfrac{1}{e}$, donc $t^{x-1}e^{-t} \geqslant \dfrac{1}{e}t^{x-1}$, et $\displaystyle \int_0^1 t^{x-1}dt$ est divergente dès que $x \leqslant 0$. Donc c'est bon, par comparaison, $\displaystyle \int_0^1 t^{x-1}e^{-t}dt$ est divergente dès que $x \leqslant 0$.

Conclusion : $\displaystyle \int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ existe si, et seulement si, $\text{Re}(z) > 0$.

Voilà, donc on peut déjà définir $\Gamma$ par $\Gamma(z) := \displaystyle \int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ sur le demi-plan $\text{Re}(z) > 0$.

La suite (prolongement analytique), ça sera pour plus tard.

Je note $\Gamma(z) = \displaystyle \int_0^{\infty}f(z,t)dt$, avec donc $f : D\times]0~;~\infty[ \longrightarrow \C$, $(z,t) \longmapsto t^{z-1}e^{-t}$ où $D = \{z \in \C \mid \text{Re}(z) > 0\}$.

L'application $f_z : t \longmapsto f(z,t)$ est mesurable car continue.

L'application $f_t : z \longmapsto f(z,t)$ est holomorphe dans $D$ : $f'_t(z) = e^{-t} \ln(t)t^{z-1} = \ln(t)f_t(z)$.

Pour appliquer le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale de mon bouquin, il me faut une fonction $g \in \mathscr{L}^1(]0;\infty[,\R)$ telle que $|f(z,t)| \leqslant g(t)$ pour tout $z \in D$ et presque tout $t \in ]0;\infty[$. Comme $|f(z,t)| = t^{\text{Re}(z)-1}e^{-t}$, je ne sais pas encore comment m'en sortir pour me débarrasser du $z$. Je vais y réfléchir.

[size=x-small]Petit pense-bête pour moi : page 279.[/size]

Je veux montrer que $\Gamma$ est dérivable, en appliquant mon théorème... il faut bien que je montre que $\Gamma$ est dérivable partout sur $D$ si je veux en fabriquer un prolongement analytique après, non ?

J'ai un peu l'impression de tricher en faisant ça, mais ça rendrait effectivement la chose évidente.

Oui, du coup ça simplifie les choses si je peux appliquer mon théorème d'holomorphie sous le signe intégrale "tranche par tranche". Il suffit de borner $t^{\text{Re}(z)-1}$ sur le $D_r$ de FdP par une constante $a_r$ et poser $g(t)=a_re^{-t}$, on obtient bien une fonction $g$ intégrable sur $]0;\infty[$ qui majore $f$ partout où il faut.

Du coup, $\Gamma$ est holomorphe "tranche par tranche" (donc partout sur $D$) et la dérivée est la même partout :

$\Gamma'(z)= \displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{\partial f}{\partial z}(z,t)dt = \int_0^{\infty} f'_t(z)dt = \int_0^{\infty} \ln(t)t^{z-1}e^{-t}dt$.

J'ai vu sur Wikipédia qu'ils définissent une fonction digamma $\psi = \dfrac{\Gamma'}{\Gamma}$, et ils écrivent $\Gamma' = \Gamma \times \psi$, mais du coup, $\Gamma' = \Gamma \times \dfrac{\Gamma'}{\Gamma}$ je ne sais pas si c'est très utile comme information. Je n'ai pas trouvé d'autre formule particulière pour $\Gamma'$, est-ce que ça vaut la peine de chercher si j'arrive à bidouiller l'intégrale $\displaystyle \int_0^{\infty} \ln(t)t^{z-1}e^{-t}dt$ ou bien c'est peine perdue ?

Je précise : je ne veux pas mettre la fonction digamma à la poubelle "pour elle-même", je suis sûr qu'elle vaut la peine d'être étudiée, mais là je demande juste s'il y a une formule plus simple pour $\Gamma'$.

Oui, la dérivée de $\Gamma$ ne me sert a priori à rien, mais j'ai le droit d'être curieux. Pour l'instant, je m'intéresse à la fonctiom Gamma, la fonction digamma (et autres polygamma, bien sûr) je les regarderai après.

En tout cas, j'ai fait ce qu'il fallait pour montrer que $\Gamma$ est holomorphe sur le domaine que j'ai appelé $D$. Maintenant, il faut que je comprenne cette histoire de prolongement analytique. J'ai bien un théorème de prolongement analytique sous la main [size=x-small](pense-bête pour moi : page 403)[/size] mais il faut encore que je comprenne les détails.

Visiblement, il faut que je montre (avec une IPP, je l'ai déjà fait pour les arguments entiers) que $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$. L'idée après, c'est quoi ? Montrer qu'il existe une fonction analytique $f$ sur $\C\setminus(-\N)$ qui vérifie $f(z+1)=zf(z)$ et $f(1)=\Gamma(1)$ ? Je crois que je n'ai pas bien compris le principe...

Bon, je reprends ici. L'histoire de la formule de Weierstrass, je préfère ne pas m'en occuper maintenant. Je la trouve intéressante mais je n'aime pas l'idée de l'introduire ici. On n'a aucun moyen de la faire apparaître naturellement dans le raisonnement, et je n'aime pas les démonstrations parachutées. Je préfère étendre "tranche par tranche" avec $\dfrac{\Gamma(z+1)}{z}$. Je ne comprends pas encore pourquoi avec cette approche, on n'aurait pas directement que les entiers négatifs sont les pôles du prolongement... on sait que les pôles du prolongement sont au plus les entiers négatifs, ça c'est sûr. Y a-t-il vraiment un travail à fournir pour montrer qu'ils le sont tous ? Il faudra voir.

En attendant, il faut que je règle cette question de majorant intégrable. Donc.

Sur $D_r = \{z \in \C \mid 0 < \text{Re}(z) < r\}$, je veux majorer $t\longmapsto t^{z-1}e^{-t}$ par une fonction intégrable sur $]0;\infty[$ indépendante de $z$.

Autrement dit : pour $x \in ]-1;r-1[$, je veux majorer $t\longmapsto t^x e^{-t}$ par une fonction intégrable sur $]0;\infty[$ indépendante de $x$. Effectivement, ça va demander réflexion... je verrai ce que j'arrive à trouver.

Intéressant, ça vaudra la peine d'être creusé, ça aussi. En attendant, je peine avec mon histoire de majorant intégrable.

Mais ça ne répondra pas entièrement à la question...