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Quelle méthode d'intégration ?

Envoyé par jcp76 
Quelle méthode d'intégration ?
26 juin 2021, 21:29
Je cherche à calculer une intégrale dont Wolfram exprime la valeur mais après plusieurs tentatives je ne vois pas la méthode ...


Re: Quelle méthode d'intégration ?
26 juin 2021, 22:02
avatar
CDV $x=\tan \theta$ puis $\varphi= \frac {\pi}4 - \theta$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/06/2021 22:04 par Chaurien.
Re: Quelle méthode d'intégration ?
26 juin 2021, 22:37
avatar
Ou, plus simplement, effectuer le changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Quelle méthode d'intégration ?
26 juin 2021, 23:51
J'avais seulement changé x comme vous l'indiquer ... mais le calcul devenait inextricable ... je reprendrai demain,
merci.
Re: Quelle méthode d'intégration ?
26 juin 2021, 23:56
J'appliquerai aussi le changement indiqué par Fin de partie,
Merci
Re: Quelle méthode d'intégration ?
27 juin 2021, 00:21
Chauffons le silicium. Je pars de .
sage: integral(ln(x+1)/(x^2+1),(x,0,1))
-catalan + 1/4*pi*log(2) - 1/2*I*dilog(1/2*I + 1/2) + 1/2*I*dilog(-1/2*I + 1/2)
Étonnant que ceci soit égal à $\pi\ln(2)/8$ (mais ça colle numériquement).
Re: Quelle méthode d'intégration ?
27 juin 2021, 10:46
bonjour

il s'agit de l'intégrale numérique de Serret

le changement de variable d'intégration proposé par Chaurien convient :

x = tant et donc dx/(1+x²) = dt et l'intégrale I devient

$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost + sint)dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$

$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln[\sqrt{2}.cos(t - \frac{\pi}{4})]dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$

$I = \frac{\pi}{8}ln2 + \int_0^{\frac{\pi}{4}}lncos(t - \frac{\pi}{4})dt - \int_0^{\frac{\pi}{4}}ln(cost)dt$

$$I = \frac{\pi}{8}ln2$$

car en posant $u = \frac{\pi}{4} - t$ on s'aperçoit que la différence des deux dernières intégrales est nulle

cordialement
Re: Quelle méthode d'intégration ?
27 juin 2021, 11:29
avatar
Le plus simple est d'utiliser le cdv $t=\frac{1-x}{1+x}$ de FDP
\[\begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2} &=\int_1 ^0\frac{\ln\left(1+\frac{1-t}{1+t}\right)}{1+\left(\frac{1-t}{1+t}\right)^2}( -\frac{2}{(1+t)^2})dt\\
&=\int_0 ^1\frac{\ln \frac{2}{1+t}}{1+t^2}dt\\
&=\int_0 ^1\frac{\ln 2-\ln(1+t)}{1+t^2}dt\\
&=\ln 2\int_0 ^1 \frac{1}{1+t^2}-\int_0 ^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt\\
\end{aligned}
\]

Signature: Je suis de passage .
Re: Quelle méthode d'intégration ?
27 juin 2021, 11:34
Comment penser à ce changement de variable ?
Re: Quelle méthode d'intégration ?
27 juin 2021, 11:36
avatar
J'aurais fait comme Chaurien bien que le cdv de FdP soit hyper efficace.
Ce cdv vient à l'esprit pour les intégrales de quelle forme en général ?
Re: Quelle méthode d'intégration ?
27 juin 2021, 11:45
avatar
Poirot: C'est le pendant du changement de variable $y=\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$.

$\displaystyle \frac{1-\tan t}{1+\tan t}=\tan\left(\frac{\pi}{4}-t\right)$

Par ailleurs, le changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ laisse invariant $\dfrac{dx}{1+x^2}$ et $\dfrac{dx}{1+x}$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Quelle méthode d'intégration ?
27 juin 2021, 13:59
Les CV de Chaurien et Fin de partie fonctionnent à merveille, encore faut-il les voir, si l'on pouvait déduire le CV possible à la seule vue de l'intégrale ... ? C'est plaisant de voir les réactions au fur et à mesure
Re: Quelle méthode d'intégration ?
27 juin 2021, 13:59
avatar
Celui de la tangente donne envie à cause du dénominateur.
Re: Quelle méthode d'intégration ?
27 juin 2021, 15:36
avatar
RLC:

On peut dire la même chose du changement de variable $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ mais ce changement de variable n'est pas populaire dans les cours de calcul intégral.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
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