Est-ce que Zêta implique Gamma ?
Réponses
-
Bonjour,
La question n'a aucun sens.
tu peux donc choisir la réponse qui te plaît. -
@YvesM. :-D On lui donne un sens donc :
Soit une fonction $f$ telle que l'intégrale $G_f(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1}f(t) dt$ soit convergente.
Il est facile de remarquer que :$$n^{-z} = \frac{1}{G_f(z)} \int_0^{+\infty} t^{z-1}f(nt) dt \qquad \text{Changement de variable } $$
Maintenant, on peut utiliser la fonction $G_f$ à la place de $\Gamma$ pour refaire toutes les propriété de $\zeta$ contenant $\Gamma$. C'est ça ma question. -
Quel est l'intérêt ?
-
Elle n'en "dépend" pas, elle y est reliée. Est-ce que ta généralisation va servir à autre chose qu'à poser $f = e^{-t}$ pour obtenir des résultats sur $\zeta$ ? Si oui, prouve-le. Sinon, je crie au Shtam.
-
Est-ce que $\zeta$ dépend du nombre $2$ ? Ta question a autant de sens que celle-ci.
-
Il y a tout un article qui parle que de ça. Je vais vous le mettre ici.
-
L2M : ton message m'a bien fait rire, mais je ne pense pas que tu sois près de comprendre pourquoi.
-
Ne ririez-vous pas comme des gros $\beta$ ?
-
Je me retire. J'avoue, je dois apprendre premièrement à poser des vraies questions.
Désolé. -
Avant de partir, l’article que tu évoques pourra intéresser quelqu’un, peut-être ?
-
Je n'arrive pas à le retrouver. ça fait longtemps que je l'ai lu. Je cherche encore.
-
La question posée n'est pas assez précise pour qu'on puisse dire que parmi les réponses OUI, NON l'une ne convient pas. Il faudrait plus de contexte.
-
Bonsoir
@Fin de partie. Un peu de contexte.
Soit une fonction $f$ telle que l'intégrale $M_f(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1}f(t) dt$ soit convergente (transformée de Mellin).
On remarque que : $$n^{-z} = \frac{1}{M_f(z)} \int_0^{+\infty} t^{z-1}f(nt) dt \qquad \text{Changement de variable } .
$$ Ainsi, pour $\Re z>1$ et de telle sorte qu'on a le droit de permuter l'intégrale et la somme. $$\zeta(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-z} = \frac{1}{M_f(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-1} \sum_{n=1}^{+\infty} f(nt) dt.
$$ Posons maintenant $\quad\displaystyle \psi (t) = \sum_{n=1}^{+\infty} f(nt).
$ Donc
$$\zeta(z) = \frac{1}{M_f(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-1} \psi (t) dt.
$$ Alors, en exploitant cette nouvelle intégrale, on trouve le premier résultat (sans passer par $\Gamma$).
Supposons que $$t\psi (t) = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{\omega_p}{p!}t^p \quad; \quad t f(t) = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{u_p}{p!}t^p.
$$ Pour tout entier naturel $p$
$$\zeta(-p) = \frac{\omega_{p+1}}{u_{p+1}}.
$$ Remarque. Quoi qu'on change de $f$, Il y aura toujours apparition des nombres de Bernoulli ($B_n$). Car la somme $\psi (t) = \sum_{n=1}^{+\infty} f(nt) $ est toujours liée à ces nombres. Chose que je n'ai pas démontrée mais qui est intuitive puisque $\zeta(-p) = \frac{(-1)^pB_{p+1}}{p+1}$.
À présent, je ne vois pas d'intérêt concret de ceci. -
Quel rapport entre la fonction dzeta et la fonction gamma ?
-
Zêta et gamma sont dans un bateau... En posant \[\xi(s)=\frac12 s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)\] pour $s\in\C\setminus\{0,1\}$, on a pour ces mêmes $s$ \[\xi(s)=\xi(1-s).\]
-
Pour $s>1$, $\displaystyle \zeta(s)=\dfrac{1}{\Gamma(s)}\int_0^1 \dfrac{(-\ln u)^{s-1}}{1-u}du$
-
Disclaimer: j'ai bêtement copié-collé. En effet, le facteur $s(s-1)$ tue les pôles de zêta et gamma.
T'façon... qui peut le plus peut le moins, n'est-ce pas ? -
bonsoir
la question de L2M porte sur les liens entre les fonctions Zeta de Riemann et Gamma d'Euler
ces liens sont étroits et la prolongation de Zeta pour les valeurs négatives de la variable réelle fait intervenir obligatoirement Gamma
de même les propriétés de Gamma en calcul intégral font intervenir la plupart du temps Zeta de Riemann
mais il faut souligner aussi les liens de Zeta et Gamma avec les fonctions trigonométriques (circulaires et hyperboliques)
on sent bien que les trois types de fonctions forment un ensemble indissociable
cordialement -
Bonsoir,
Je ne vois pas cette intervention obligatoire de Gamma ! Peux-tu être plus précis ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 27
+21 Invités