Parties ouvertes
Bonjour,
Soit $U$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$. On dit que $U$ est un ouvert de $E$ si l'une des assertions suivantes est vérifiée :
i) Pour tout $x \in U$, il existe $r>0$ tel que la boule ouverte $B(x,r) \subset U$.
ii) Pour tout $x \in U$, il existe $r>0$ tel que la boule fermée $B_f(x,r) \subset U$.
Je ne comprends pas pourquoi $E$ est une partie ouverte. Quelle boule on peut inclure dans $E$ :-S
Soit $U$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$. On dit que $U$ est un ouvert de $E$ si l'une des assertions suivantes est vérifiée :
i) Pour tout $x \in U$, il existe $r>0$ tel que la boule ouverte $B(x,r) \subset U$.
ii) Pour tout $x \in U$, il existe $r>0$ tel que la boule fermée $B_f(x,r) \subset U$.
Je ne comprends pas pourquoi $E$ est une partie ouverte. Quelle boule on peut inclure dans $E$ :-S
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Ben, toutes !!
Cordialement,
Rescassol
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Je n'ai pas compris pourquoi $E$ est un ouvert.
Parce qu'il contient TOUT !!!...
Corduialement,
Rescassol
Soit $a \in E$ et $r>0$.
Il faut revenir à la définition d'une boule ouverte $B(a,r)=\{ x \in E \ , \ ||x-a|| < r \} \subset E$ par définition.
Une boule ouverte est une partie de $E$, elle est donc toujours incluse dans $E$.
Et es-tu capable de montrer qu'une boule ouverte est un ouvert ?
Je n'ai pas compris le risque majeur avec le cas d'égalité :-S
Même si je crois que ça marche.
Montrer que toute partie ouverte est une réunion de boules ouvertes.
Je ne comprends pas la fin du corrigé.
Soit $U$ une partie ouverte de $E$. Pour tout $x \in U$, toute boule centrée en $x$ et de rayon suffisamment petit est incluse dans $U$.
En notant $n_x = \min \{n \in \N^{*} \ | \ B(x,\dfrac{1}{n}) \subset U \}$ et en notant $r_x= \dfrac{1}{n_x}$ on a $B(x,r_x) \subset U$.
Il est alors clair que $\boxed{U=\displaystyle\bigcup_{x \in U} B(x,r_x)}$
J'essaie de démontrer la dernière égalité.
Soit $y \in \displaystyle\bigcup_{x \in U} B(x,r_x)$. Alors il existe $x \in U$ tel que $y \in B(x,r_x) \subset U$ donc $y \in U$.
Réciproquement, soit $z \in U$. Je bloque ici :-S
[Restons dans le fil que tu as ouvert sur le sujet.
Respectons tes principes http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2263866,2266698#msg-2266698 AD]
La définition dit qu'on peut aussi utiliser les boules fermées.
Je ne comprends pas vraiment l'intérêt de définir cet entier $n_x$. Dire que pour tout $x \in E$, il existe $r_x > 0$ tel que la boule centré en $x$ et de rayon $r_x$ soit contenue dans $U$ par définition d'un ouvert d'un espace normé ne suffit pas ?
Et le fait que la définition autorise les boules fermées ne change rien. Tu te mélanges les pinceaux, tu n'as pas le droit de toucher le bord.
Je n'ai pas compris le reste non plus.
Si $E=\R$ alors $B(x,r)=]x-r,x+r[$.
Tu as perdu $x$ ?
Cordialement,
Rescassol
Si $z \in U$ alors comme $U$ est un ouvert, il existe une boule $B(z,r)$ incluse dans $U$, avec $r$ un réel positif.
Il faut montrer que $B(z,r) \subset \displaystyle\bigcup_{x \in U} B(x,r_x)$
Là je n'arrive pas à faire intervenir le $n_x$.
Mais pour l'inclusion qui te pose problème, je te conseille vivement de relire la définition de l'ensemble défini par l'union de certaines boules car je pense que tu passes à côté de quelque chose...
Elle est collector celle-là...
je dois encore décider si je dois rire ou pleurer :-D
Bon trêve de plaisanterie, parmi toutes les boules ouvertes $B(x,r_x)$ où $x$ parcourt $U$, tu n'en vois pas une qui contient $z$ par hasard ? Peut-être qu'il faut que tu te souviennes que $z$ lui-même est dans $U$.
OShine : ta réunion, c'est une réunion de boules ouvertes centrées en un élément de $U$. Si tu prends un élément de $U$, est-ce que c'est trivial qu'il est dedans ou non ?
Deuxièmement, une boule ouverte, c'est un ensemble d'éléments de $E$, donc, est-ce que c'est possible qu'une boule ouverte ne soit pas incluse dans $E$ ?
-Donne-moi un point qui touche le bord de la boule en fonction de x, a et R
-Explique-moi pourquoi la boule qu'on choisit n'a pas le droit de toucher le bord
-Tant qu'on y est montre que les boule fermées sont fermées tiens
Ne me dis pas "Mais le livre écrit par des agrégés dit qu'on peut prendre des boules fermées" puisque c'est vrai mais ça n'a rien à voir. Ne dis pas non plus que tu ne vois pas, relis ton énoncé, le corrigé, et explique.
Si tu ne sais pas mettre les choses au clair tu auras toujours en maths un niveau...OShine.
@Os Maintenant que tu as la définition d'un ouvert (dans un e.v.n E), il est naturel de se poser la question suivante : L'intersection de 2 ouverts de E est-il un ouvert de E?
laisse O Shine se rendre compte qu'il cherche ses lunettes partout alors qu'elles sont sur son nez ... tu vois bien que l'arbre de la formule lui cache la forêt de l'énoncé.
Cordialement.
NB : Son problème est plus profond (collège) : Changer le nom de la variable (écrire z) le rend incapable de comprendre ce qu'elle désigne !
OShine : Le problème (qui n'en est pas un) avec la figure de la démonstration c'est que la frontière de la petite boule ouverte touche celle de la grande.
En remplaçant la petite boule ouverte par une boule fermée de même centre et de même rayon, la frontière de cette petite boule va sortir de la grande boule ouverte.
Par sécurité, certaines personnes prennent $\dfrac{R-\Vert x-a\Vert}2$ (un rayon moitié moins grand) pour être sûres que la petite boule soit bien éloignée de la frontière de la grande.
J'ai essayé de lui donner le truc dans mon dernier message.
Toutes les questions que tu te poses sur ces boules ouvertes , reformule les en pensant à $R$ , et à des intervalles ouverts. Ca va te donner un support simple pour bien comprendre ce que ton livre raconte.
Et quand tu as bien validé tout ça dans $R$, tu peux généraliser à $U$ quelconque.
Gérard non je maîtrise la notion de variable muette.
Philippe malot quel est le problème si la petite boule fermée sort de la grande ?
RLC je n'ai pas compris pourquoi la boule ne peut pas toucher le bord.
Bd2017 j'ai étudié ces propriétés. L'intersection d'ouverts est toujours un ouvert. Ça se démontre très facilement j'ai trouvé la demo seul sans regarder le livre.
Idem pour la réunion d'un nombre fini d'ouverts.
Le fait qu'une boule fermée est un fermé est démontré dans la partie cours du livre. On prend une boule à l'extérieur dans le complémentaire.
Pour la correction de l'exercice je n'ai toujours pas compris. Il existe une une boule de centre z et de rayon R incluse dans U. Mais je ne vois pas le rapport avec le $n_x$
Quel rapport avec le dessin et la frontière ?
Au fait, pourquoi parles-tu de variable "muette" ?? Tu ne comprends même pas ce qu'on écrit ?
Effectivement, dans $\R$, une boule ouverte $B(x,r)$, c'est un intervalle ouvert de la forme $]x-r,x+r[$. La boule fermée correspondante $\overline{B}(x,r)$, du coup, c'est tout simplement l'intervalle fermé $[x-r,x+r]$. L'ensemble $\{x-r,x+r\}$ est la frontière de ces boules : incluse dans la boule fermée, exclue de la boule ouverte. Tu dois comprendre $\{x-r,x+r\}$ littéralement comme un "cercle" de centre $x$ et de rayon $r$, dans $\R$ : c'est l'ensemble des points qui sont exactement à distance $r$ de $x$ dans l'espace normé/métrique $\R$ muni de la norme/distance définie par la valeur absolue $|\cdot|$, donc les solutions de $|x-y|=r$.
Un ouvert, c'est un ensemble qui contient une boule (ouverte ou fermée, effectivement) autour de chacun de ses points. Un truc très utile ici, c'est de connaître un peu de topologie de $\R$ (notamment le fait que $\R$ est complet, les résultats de densité...). Une différence fondamentale entre $]x-r,x+r[$ et $[x-r,x+r]$ est la suivante : je prends $x+r$ mais tout ce que je vais raconter marche évidemment aussi en $x-r$. Si je construis une boule $B(x+r,\epsilon)$ avec $\epsilon > 0$, qu'elle soit ouverte ou fermée, elle contient $x+r+ \dfrac{\epsilon}{2}$. Or, $x+r+ \dfrac{\epsilon}{2} > x+r$, donc $B(x+r,\epsilon)$ n'est pas inclus dans $[x-r,x+r]$. Puisque $[x-r,x+r]$ est un intervalle fermé, il contient sa frontière (ses bornes sup et inf, $x+r$ et $x-r$). Mais comme c'est justement sa frontière, toute boule centrée en un point de la frontière d'un intervalle sort de cet intervalle. Donc un intervalle fermé n'est pas ouvert, à cause des points de la frontière.
Contrairement à ça, dans l'intervalle ouvert $]x-r,x+r[$, je n'ai pas à me soucier des boules centrées en $x-r$ et $x+r$ puisque ces deux points ne sont pas dans mon intervalle cette fois-ci. Si je me donne un point $z \in ]x-r,x+r[$, je peux alors calculer sa distance à $x-r$ et $x+r$ : je calcule $\epsilon_1 = |z-(x-r)|$ et $\epsilon_2 = |z-(x+r)|$. Il suffit alors de définir $m = \min(\epsilon_1,\epsilon_2)$ pour avoir une boule $B(z,\dfrac{m}{2})$ qui est garantie de rester à l'intérieur de l'intervalle ouvert par définition de $m$ ! C'est ça la magie de $\R$ : dans $\R$, peu importe quelle est la distance $m$ entre $z$ et la frontière de $]x-r,x+r[$, je peux toujours fabriquer une boule centrée en $z$ et de distance plus petite (j'ai divisé par $2$ mais on peut diviser par n'importe quel nombre $> 1$). Fais un dessin pour t'en persuader : peu importe à quel point $z$ est proche de $x\pm r$, tu peux toujours "zoomer" entre $z$ et $x\pm r$ pour trouver un point qui s'intercale entre les deux.
Je suis certain que tu comprendras à peu près tout ce que j'ai raconté. Cependant, il faut absolument qu'on revienne sur un truc vraiment très important.
Soient $X$ est un ensemble, $A$ une partie de $X$, et pour tout $x \in X$, soit $P_x$ une partie de $X$ qui contient $x$. Si $z \in A$, a-t-on $z \in \displaystyle \bigcup_{x \in A}P_x$ ? Démonstration.
Ces exercices, normalement, tu les as faits quand tu étais élève.
Soit tu savais les faire à l'époque ... et tu as tout perdu ensuite ...Peu probable.
Soit déjà, quand tu étais au lycée, tu ne savais pas faire ces exercices. Et le système t'a quand même donné le bac, le système t'a quand même donné un diplôme qui te permet d'être prof de maths.
Mystère.
Comment as-tu fait pour avoir ton bac ???
Prends du recul!!! Tu risques une dangereuse et/ou fatale crise de nerfs. Je parle sérieusement.
Voilà ce qu’il te faut.
En terminale j'étais dans les 3 premiers de la classe en maths, j'avais 17 de moyenne en maths. J'avais un peu plus de mal en spé arithmétique, j'avais que 14.
J'ai compris la notion d'ouvert et de fermé, et je vois dans ma tête quand c'est un ouvert ou un fermé en voyant si on peut intercaler une boule ouverte, c'est la correction que je ne comprends pas avec le $n_x$.
@Homo Topi
Je n'ai pas réussi ton exercice, trop d'ensembles sont introduits ça m'embrouille.
Je ne sais pas répondre aux questions suivantes de RLC :
-Donne-moi un point qui touche le bord de la boule en fonction de x, a et R
-Explique-moi pourquoi la boule qu'on choisit n'a pas le droit de toucher le bord
Je n'ai toujours pas compris le corrigé de l'exercice.
On te demande donc de prouver qu'une boule ouverte B est ouverte. Pour ça, on montre que B est voisinage de chacun de ses points, ou autrement dit, que pour chaque x dans B, il y a une boule ouverte (ou fermée) de centre x incluse dans B.
Ils se donnent donc x dans B et construisent un rayon R tel que, normalement, la boule de rayon R et de centre x soit dans B.
Le problème, te dit-on, avec leur inégalité triangulaire, est que si la boule est fermée (et ils ne précisent pas, tu aurais pu avoir envie d'utiliser la caractérisation à base de boules fermées), alors elle touche le bord de la boule B.
Seulement B ne contient pas son bord ! Elle est ouverte. Donc la boule qu'ils se donnent ne reste pas incluse dans B, et ce qu'ils ont écrit ne sert donc à rien pour montrer que B est ouverte.
Et ma preuve qu'une boule fermée est fermée ? Si elle n'est pas rédigée dans ton livre bien sûr, ça pourrait te faire une autre démonstration du genre et voir si tu l'as comprise à part cette erreur.
Ok donc comme tu disais une intersection d'ouverts quelconques est ouverte.
@Os Bon alors la réunion de fermés de U est-elle un fermé de U? Si oui, peux tu justifier?
P.S Je tiens à te faire remarquer que mes questions sont de simples questions qui peuvent être considérées comme premiers exercices à faire uniquement à partir des définitions.
Mais je n'ai pas compris comment trouver un point qui touche le bord en fonction de $a$, $x$ et $R$.
Pour répondre à l'indication de RaoulS, si $z \in U$ alors $z \in B(z,r_z)$ donc $z \in \displaystyle\bigcup_{x \in U} B(x,r_x)$ donc je pense que c'est bon.
@Noobey oui j'ai dit une bêtise.
Alors il serait bien de dire et corriger ton erreur.