Série de Fourier 1
Bonjour. J'aimerais savoir ce qui a motivé les gens à travailler sur les séries de Fourier.
J'ai lu dans un document que l'idée sous-jacente à l'introduction des séries de Fourier est de pouvoir écrire une fonction
$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$, $T$-périodique, par exemple continue, comme somme de fonctions sinusoïdales :
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(f){e}^{\frac{i2n\pi}{T}x}=\lim\limits_{n\to+\infty} S_n(f),
$$ où les coefficients (de Fourier) $c_n(f)$ et les sommes partielles $S_n(f)$ de $f$, sont définis par :
$$c_{n}(f)=\frac {1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t){e}^{\frac{-i2n\pi}{T}t}dt \quad\text{ et } \quad S_n(f)=\sum _{k=-n }^{n }c_{k}(f){e}^{\frac{i2k\pi}{T}x}.
$$ J'aimerais savoir l'intérêt de faire un tel développement.
J'ai d'abord penser au fait qu'elle faciliterait la dérivation d'un telle fonction, son intégration elle peut aussi permettre de déterminer les solutions des équations différentielles. J'aimerais que vous m'aidiez avec des idées.
Merci d'avance.
J'ai lu dans un document que l'idée sous-jacente à l'introduction des séries de Fourier est de pouvoir écrire une fonction
$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$, $T$-périodique, par exemple continue, comme somme de fonctions sinusoïdales :
$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(f){e}^{\frac{i2n\pi}{T}x}=\lim\limits_{n\to+\infty} S_n(f),
$$ où les coefficients (de Fourier) $c_n(f)$ et les sommes partielles $S_n(f)$ de $f$, sont définis par :
$$c_{n}(f)=\frac {1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t){e}^{\frac{-i2n\pi}{T}t}dt \quad\text{ et } \quad S_n(f)=\sum _{k=-n }^{n }c_{k}(f){e}^{\frac{i2k\pi}{T}x}.
$$ J'aimerais savoir l'intérêt de faire un tel développement.
J'ai d'abord penser au fait qu'elle faciliterait la dérivation d'un telle fonction, son intégration elle peut aussi permettre de déterminer les solutions des équations différentielles. J'aimerais que vous m'aidiez avec des idées.
Merci d'avance.
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Réponses
Apparemment, quand il a essayé de présenter ses travaux, on lui aurait répondu que c'est du charabia incompréhensible sans avenir (en tout cas, c'est ce qu'un de mes profs racontait). Et c'est vrai que les idées de Fourier ont mis du temps à se démocratiser, mais quand on voit aujourd'hui la portée des séries et transformations de Fourier... il n'était pas bête, le gars.
En électricité dans les systèmes linéaires (résistances, condensateurs, bobines, générateurs de courant/tension) on ADORE les courants sinusoïdaux. Le système est beaucoup beaucoup plus facile à étudier. Au lieu de résoudre des lourds systèmes d'équations différentielles, on résout des équations linéaires simples.
Pour chaque objet du circuit celui-ci se comporte comme $s(t) = Ae^{i\omega t} \implies s'(t) = i\omega Ae^{i\omega t}$ et ($A$, constante complexe dépend de l'objet et $\omega$ est la pulsation connue, commune à tous les objets). Tous les termes dans les équations différentielles en $e^{i\omega t}$ se simplifient et il reste les constantes à déterminer devant. Système linéaire simple.
Décomposer un signal en sinusoïdes ça permet de simplifier le problème (on étudie chaque sinusoïde séparément comme dit précédemment et on somme !).
Fourier a pris l'idée de sa décomposition en sinusoïdes dans un problème proche, celui des cordes vibrantes. Ce qui lui a été immédiatement reproché n'est pas la méthode, mais le fait qu'elle n'était pas justifiée (on pensait alors impossible de faire des discontinuités avec des sommes de fonctions continues). Il a d'ailleurs fallu des dizaines d'années de travail approfondi pour comprendre l'étendue des possibilités des séries trigonométriques (disons, pour l'essentiel, un siècle). Mais tout le monde sait que la non justification mathématique d'une méthode n'a jamais arrêté un physicien, et les physiciens ont très vite repris l'outil.
Cordialement.
S'il vous plaît qu'elle est l'importance de résoudre les équations différentielles à l'aide des séries de Fourier ? Cette méthode est-elle plus efficace que les autres?
Pourquoi poses-tu cette question ? On dirait que tu imagines que c'est "la" méthode de résolution. Alors qu'on utilise de nombreuses méthodes différentes, comme partout en maths, pour résoudre des équations différentielles différentes.
D'ailleurs, maintenant, c'est plutôt la transformée de Fourier (ou un analogue, la transformée de Laplace) qui est utilisée comme outils (mais pas seulement pour les équa-diff).
Cordialement.
Je pensais aussi au fait que la résolution nous permet d'avoir la solution sous forme d'une série trigonométrique. Et donc de pouvoir déduire ses propriétés grâce aux propriétés des séries trigonométriques.
- L'exemple n'est-il pas artificiel ? (résolution de la première équation venue pour placer des séries de Fourier pour coller au sujet > quelle est la prise de recul du candidat ? );
- Les séries de Fourier sont-elles la méthodes la plus efficace (en un sens à préciser) pour traiter les équation de degré 4 ? (Le candidat a-t-il pris le soin de vérifier quelles sont les autres méthodes ?)
- ...
Moi, je n'ai pas de réponse (d'autant que je ne connais pas l'équation dfifférentielle en cause), mais je sais que je n'aurais pas pris ce genre "d'application" sans savoir pourquoi elle est utile. D'ailleurs, pour les équa-diff linéaires, la transformée de Laplace, ou celle de Carson-Laplace sont bien plus efficaces (calcul opérationnel). Les applications des séries de Fourier en traitement du signal sont bien plus convaincantes.
Cordialement.
Merci déjà pour vos réponses.
L'équation en cause est celle-ci $$y^{(4)}+5y''+4y=\lvert \sin(2x) \rvert.
$$ J'aurais bien aimé savoir ce quelle modélise.
S'il vous plaît puis-je avoir une question (si possible de nature classique) qui reste posée sur les séries de Fourier ?
Il était orphelin de père et mère à 10 ans, malgré cette tragédie il a fait de brillantes études et une grande carrière scientifique.
Discutée il y a 4ans sur le forum