Exemple de norme sur K[X]
Bonsoir,
Soit $P \in \K[X]$. J'ai doute sur l'implication suivante $(\sup_{t \in [0,1]} |P(t)-P'(t)|=0 ) \implies ( \forall t \in [0,1] \ P'(t)-P(t)=0)$.
Ma démonstration est-elle correcte ? Peut-on raisonner sans contraposée ?
S'il existe $y \in [0,1]$ tel que $P'(y)-P(y) \ne 0$ alors $|P'(y)- P(y)| >0$. Mais la borne supérieure est un majorant donc $\sup_{t \in [0,1]} |P(t)-P'(t)| \geq |P'(y)- P(y)| >0$.
Le résultat est démontré par contraposée.
Soit $P \in \K[X]$. J'ai doute sur l'implication suivante $(\sup_{t \in [0,1]} |P(t)-P'(t)|=0 ) \implies ( \forall t \in [0,1] \ P'(t)-P(t)=0)$.
Ma démonstration est-elle correcte ? Peut-on raisonner sans contraposée ?
S'il existe $y \in [0,1]$ tel que $P'(y)-P(y) \ne 0$ alors $|P'(y)- P(y)| >0$. Mais la borne supérieure est un majorant donc $\sup_{t \in [0,1]} |P(t)-P'(t)| \geq |P'(y)- P(y)| >0$.
Le résultat est démontré par contraposée.
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Réponses
Rappel : $x=0$ est équivalent à [$x \leqslant 0$ et $x \geqslant 0$]
Et toi, tu as un doute sur ce résultat ?
Soit tu penses que ton bouquin est à peu près bien fait, et dans ce cas, quand tu as des doutes, l'hypothèse la plus probable, c'est que TU te trompes.
Soit tu penses que ton bouquin contient un peu trop d'erreurs, et dans ce cas, il faut le jeter.
Ici, le bouquin ne détaille pas l'implication, parce que c'est une évidence.
Oui si le sup est nul alors comme $\forall t \in [0,1] \ |P'(t)-P(t)| \leq \sup =0$ alors on a l'égalité.
Je me suis compliqué la vie pour rien.
En tout cas, oui, tu vois bien que ce n'était pas compliqué. Il faut juste que tu comprennes que même si christophe c adore les quantificateurs, il ne faut pas se jeter dessus tête baissée sans regarder sur quoi on travaille. Un sup de trucs positifs qui est nul, c'est trivial sans quantificateurs, même sans réfléchir.
C'est juste après ça qu'il faut réfléchir : un polynôme, égal à sa propre dérivée sur tout un intervalle ? Est-ce que ça t'inspire une réflexion ?
Alors $P =P'$ (infinité de racines)
Par l'absurde, si $P \ne 0$ alors on peut poser $\deg P =n \in \N$ (le seul le polynôme nul a un degré égal à moins l'infini)
Et comme $\deg P' = n-1=n$ don en déduit $0=-1$ ce qui est absurde.
Donc $P=0$
Pourquoi seul le polynôme nul a un degré égal à $-\infty$ ?
Et pourquoi cette valeur d'ailleurs ?
À bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
C'est donc la même chose que $0^0=1$ ?
À bientôt.
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À bientôt.
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Mon but était de savoir si Oshine s'était posé ces questions.
C'est pour cela que je n'ai pas trop insisté, ne voulant pas détruire un concept opérationnel alors que cela marche bien.
À bientôt.
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Si on prend $Q=0$ dans cette formule en effet, on voit que si on demande à $\deg(Q)$ d'être fini, on a $\deg(P)=0$ ce qui n'a pas de raison d'être vrai si $P$ est quelconque d'où le choix de cette convention infini. Et puis MOINS l'infini parce que le degré doit être plus petit que le degré des constantes non nulles qui est $0$.
Ça met juste en évidence qu'encore une fois, c'est une convention mais qui a une raison d'être, pas juste une convention stupide qu'il faut apprendre par cœur ce que fait OS.
Pour rappel, $0^0$ est par définition la limite de $x\mapsto x^x$ (qu'on peut calculer avec des croissances comparées...) donc ok c'est une convention, mais qui permet d'avoir cette fonction continue sur $\mathbb{R}_+$ donc pas juste une convention stupide fondée sur rien.
C'est juste une proposition.
À bientôt.
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Pour le cardinal de l'ensemble des applications de $\emptyset$ dans $\emptyset$ je suis d'accord.
L'ensemble des applications de $E$ dans $F$ a pour cardinal $card(F)^{card (E)}$ et $card (\emptyset)=0$
C'est une des justifications données dans mon livre. Soit $n \in \N$. Un polynôme qui s'écrit $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k$ est de degré inférieur ou égal à $n$, évidemment avec la convention $- \infty \leq n$.